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    新高考数学一轮复习微专题专练52离散型随机变量及其分布列、均值与方差(含详解)

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    这是一份新高考数学一轮复习微专题专练52离散型随机变量及其分布列、均值与方差(含详解),共5页。

    一、选择题
    1.设随机变量X的分布列如下:
    则p为( )
    A. eq \f(1,6) B. eq \f(1,3)
    C. eq \f(2,3) D. eq \f(1,2)
    2.随机变量ξ的分布列如下:
    其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)等于( )
    A. eq \f(1,3) B. eq \f(1,4)
    C. eq \f(1,2) D. eq \f(2,3)
    3.已知X是离散型随机变量,P(X=1)= eq \f(1,4) ,P(X=a)= eq \f(3,4) ,E(X)= eq \f(7,4) ,则D(2X-1)=( )
    A. eq \f(2,5) B. eq \f(3,4)
    C. eq \f(3,5) D. eq \f(5,6)
    4.设随机变量ξ的分布列为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ=\f(k,5))) =ak(k=1,2,3,4,5),则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))) 等于( )
    A. eq \f(3,5) B. eq \f(4,5)
    C. eq \f(2,5) D. eq \f(1,5)
    5.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(k) ,k=1,2,3,则m的值是( )
    A. eq \f(17,36) B. eq \f(27,38)
    C. eq \f(17,19) D. eq \f(27,19)
    6.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球,从中任意摸出两个球,用0表示两个球都是白球,用1表示两个球不全是白球,则满足条件X的分布列为( )
    7.已知随机变量X的分布列为P(X=i)= eq \f(i,2a) (i=1,2,3),则P(X=2)=( )
    A. eq \f(1,9) B. eq \f(1,6)
    C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,4)
    8.节日期间,某种鲜花进货价是每束25元,销售价为每束50元;节日卖不出去的鲜花以每束16元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布:
    若购进这种鲜花500束,则利润的均值为( )
    A.7 060元 B.6 900元
    C.7 540元 D.7 200元
    9.[2023·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到三次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75,则p的取值范围为( )
    A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(7,12)))
    C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12),1))
    二、填空题
    10.已知离散型随机变量X的分布列如下:
    则常数C=________.
    11.设随机变量X的概率分布列为
    则P(|X-3|=1)=________.
    12.[2023·山东德州模拟]随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=________.
    [能力提升]
    13.设0则当a在(0,1)内增大时( )
    A.D(X)增大
    B.D(X)减小
    C.D(X)先增大后减小
    D.D(X)先减小后增大
    14.(多选)[2023·山东聊城模拟]随机变量ξ的分布列为
    其中ab≠0,则下列说法正确的是( )
    A.a+b=1
    B.E(ξ)= eq \f(3b,2)
    C.D(ξ)随b的增大而减小
    D.D(ξ)有最大值
    15.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:
    若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是________.
    16.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是________.
    专练52 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
    1.B 由分布列的性质可知 eq \f(1,6) + eq \f(1,3) + eq \f(1,6) +p=1.
    ∴p= eq \f(1,3) .
    2.D ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,由分布列的性质可知a+b+c=1,∴b= eq \f(1,3) ,∴P(|ξ|=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=1-P(ξ=0)=1- eq \f(1,3) = eq \f(2,3) .
    3.B 由题意知:1× eq \f(1,4) +a× eq \f(3,4) = eq \f(7,4) ,∴a=2.
    ∴D(2X-1)=4D(X)=
    4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(7,4)))\s\up12(2)×\f(1,4)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(7,4)))\s\up12(2)×\f(3,4)))
    = eq \f(3,4) .故选B.
    4.C 由题意知,分布列为
    由分布列的性质可得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a= eq \f(1,15) .
    所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10))) =P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ=\f(1,5))) +P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ=\f(2,5))) +P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ=\f(3,5))) = eq \f(1,15) + eq \f(2,15) + eq \f(3,15) = eq \f(2,5) ,故选C.
    5.B 由题意得,m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)+\f(4,9)+\f(8,27))) =1,∴m= eq \f(27,38) .
    6.A 由题可知P(X=0)= eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) = eq \f(3,21) = eq \f(1,7) ,
    P(X=1)=1-P(X=0)=1- eq \f(1,7) = eq \f(6,7) .
    7.C 由分布列的性质可知, eq \f(1,2a) + eq \f(2,2a) + eq \f(3,2a) = eq \f(6,2a) =1,得a=3,P(X=2)= eq \f(2,2a) = eq \f(1,3) .
    8.A E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,∴利润为(340×50+160×16)-500×25=7 060.故选A.
    9.A 由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p> eq \f(5,2) 或p< eq \f(1,2) .由p∈(0,1),得p∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) .故选A.
    10. eq \f(1,3)
    解析:由9C2-C+3-8C=1,得C= eq \f(1,3) 或C= eq \f(2,3) ,
    又当C= eq \f(2,3) 时,9C2-C=9× eq \f(4,9) - eq \f(2,3) >1,不合题意,当C= eq \f(1,3) 时符合题意.∴C= eq \f(1,3) .
    11. eq \f(5,12)
    解析:由分布列的性质知 eq \f(1,3) +m+ eq \f(1,4) + eq \f(1,6) =1,得m= eq \f(1,4) .
    P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)= eq \f(1,6) + eq \f(1,4) = eq \f(5,12) .
    12.1
    解析:∵随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,
    ∴设P(X=1)=a,则P(X=2)=0.8-a,0≤a≤0.8.
    则E(X)=0×0.2+a+2(0.8-a)=1.6-a.
    又D(X)=(a-1.6)2×0.2+(a-0.6)2a+(a+0.4)2(0.8-a)=0.4,
    整理得a2-0.2a-0.24=0,解得a=0.6或a=-0.4(舍),
    ∴E(X)=1.6-0.6=1.
    13.D 由题意可得,E(X)= eq \f(1,3) (a+1),所以D(X)= eq \f((a+1)2,27) + eq \f((1-2a)2,27) + eq \f((a-2)2,27) = eq \f(6a2-6a+6,27) = eq \f(2,9) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(1,2)))\s\up12(2)+\f(3,4))) ,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.
    14.ABD 根据分布列的性质得a+ eq \f(b,2) + eq \f(b,2) =1,即a+b=1,故A正确;根据数学期望公式得E(ξ)=0×a+1× eq \f(b,2) +2× eq \f(b,2) = eq \f(3b,2) ,故B正确;根据方差公式得D(ξ)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0-\f(3b,2))) eq \s\up12(2) ×a+ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(3b,2))) eq \s\up12(2) × eq \f(b,2) + eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(3b,2))) eq \s\up12(2) × eq \f(b,2) =- eq \f(9,4) b2+ eq \f(5,2) b=- eq \f(9,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b-\f(5,9))) eq \s\up12(2) + eq \f(25,36) ,因为015.乙
    解析:E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,
    E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
    因为E(Y)16.(1 000,20 000)
    解析:假设公司应要求顾客交保险金为100元,其公司收益的随机变量ξ的分布列为
    则E(ξ)=0.995×100+0.005×(100-a)>0,解得a<20 000,故a的取值范围为(1 000,20 000).
    X
    1
    2
    3
    4
    P
    eq \f(1,6)
    eq \f(1,3)
    eq \f(1,6)
    p
    ξ
    -1
    0
    1
    P
    a
    b
    c
    X
    200
    300
    400
    500
    P
    0.20
    0.35
    0.30
    0.15
    X
    0
    1
    P
    9C2-C
    3-8C
    X
    1
    2
    3
    4
    P
    eq \f(1,3)
    m
    eq \f(1,4)
    eq \f(1,6)
    X
    0
    a
    1
    P
    eq \f(1,3)
    eq \f(1,3)
    eq \f(1,3)
    ξ
    0
    1
    2
    P
    a
    eq \f(b,2)
    eq \f(b,2)
    X
    0
    1
    2
    3
    P
    0.4
    0.3
    0.2
    0.1
    Y
    0
    1
    2
    P
    0.3
    0.5
    0.2
    ξ
    eq \f(1,5)
    eq \f(2,5)
    eq \f(3,5)
    eq \f(4,5)
    1
    P
    a
    2a
    3a
    4a
    5a
    ξ
    100
    100-a
    P
    0.995
    0.005
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