广西专用高考数学一轮复习考点规范练65离散型随机变量的均值与方差含解析新人教A版理

考点规范练65　离散型随机变量的均值与方差

基础巩固

1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　)

A B.4 C.-1 D.1

答案:A

解析:∵E(X)=-=-,

∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=

2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=(　　)

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

答案:D

解析:设A,B两城市受台风袭击的概率均为p,

则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,

解得p=0.2或p=1.8(舍去),

P(X=0)=1-0.36=0.64,

P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,

P(X=2)=0.2×0.2=0.04,

故E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4,故选D.

3.已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2,若0<p1<p2<,则(　　)

A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)

B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)

C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)

D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)

答案:A

解析:∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).

∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),

∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故选A.

4.(2020浙江永康模拟)随机变量ξ的分布列如表所示,则p在区间(0,0.5)内增加时,D(ξ)的变化是(　　)

A.一直增加 B.一直减小

C.先增加后减小 D.先减小后增加

答案:A

解析:由随机变量ξ的分布列的性质得

E(ξ)=1×p+2×(0.5-p)+3(0.5-p)+4×p=p+1-2p+1.5-3p+4p=2.5,

D(ξ)=(1-2.5)2×p+(2-2.5)2×(0.5-p)+(3-2.5)2×(0.5-p)+(4-2.5)2×p=4p+0.25,

故p在区间(0,0.5)内增加时,D(ξ)的变化是一直增加.故选A.

5.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在区间[90,110]上的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为(　　)

A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21

答案:B

解析:P(90≤X≤110)==0.3,X~B(10,0.3),D(X)=10×0.3×0.7=2.1.

6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为　　　　　. 

答案:200

解析:记不发芽的种子数为Y,则Y~B(1000,0.1),

∴E(Y)=1000×0.1=100.

又X=2Y,∴E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.

7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=　　　　　. 

答案:

解析:由题意可知取到次品的概率为,则X~B,

故D(X)=3

8.(2020天津二模)近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.若现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为　　　　;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的数学期望为　　　　. 

答案:

解析:某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.

现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,

基本事件总数n==35,

抽取的3天中至少有一天空气质量为良包含的基本事件个数m==25.

则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为P=

记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,P(X=3)=,

故随机变量X的数学期望为E(X)=0+1+2+3

9.有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.

解:E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,

D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;

E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,

D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.

由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.

10.(2020广西桂林模拟)某企业计划在某地建立猕猴桃饮品基地,进行饮品A,B,C的开发.

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图如图所示.若饮品A的百件利润为400元,饮品B的百件利润为300元,饮品C的百件利润为700元,请估计三种饮品的平均百件利润;

(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为,开发新饮品成功的概率为,且工艺改进与饮品研发相互独立.

①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率;

②若工艺改进成功则可为企业获利80万元,不成功则亏损30万元,若饮品研发成功则获利150万元,不成功则亏损70万元,求该企业获利ξ的数学期望.

解:(1)根据条形图可得顾客选择饮品A的频率为0.35,

选择饮品B的频率为0.45,选择饮品C的频率为0.20,

可用频率代替概率,则可以得到总体的百件利润平均值为400×0.35+300×0.45+700×0.20=415.

(2)①设饮品工艺改进成功为事件A,新品研发成功为事件B,

依题意可知事件A与事件B相互独立,

事件M为工艺改进和新品研发恰有一项成功,

则P(M)=P(B)+P(A)=

②由题意知企业获利ξ的取值为-100,10,120,230,所以ξ的分布列为

所以E(ξ)=-100+10+120+230

能力提升

11.(2020黑龙江哈尔滨一模)某网络平台的商家进行有奖促销活动,顾客购物消费每满600元,可选择直接返还60元现金或参加一次答题返现,答题返现规则如下:电脑从题库中随机选出一道题让顾客限时作答,假设顾客答对的概率都是0.4,若答对题目,则可获得120元返现奖励;若答错,则没有返现奖励.假设顾客答题的结果相互独立.

(1)若某顾客购物消费1 800元,作为网络平台的商家,通过返现的期望进行判断,是希望顾客直接选择返还180元现金,还是选择参加3次答题返现?

(2)若某顾客购物消费7 200元并且都选择参加答题返现,请计算该顾客答对多少次概率最大,最有可能返还多少现金?

解:(1)设X表示顾客参加3次答题中答对的次数,

由于顾客答题的结果相互独立,则X~B(3,0.4),

即E(X)=np=3×0.4=1.2.

因为答对题目就可获得120元返现奖励,

所以该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望值为1.2×120=144.

由于顾客的返现金额的期望值144小于直接返还的180元,所以商家希望顾客参加答题返现.

(2)由已知可得顾客可以参加12次答题,

设答对的题的个数为Y,则Y服从二项分布Y~B(12,0.4),

P(Y=k)=0.4k0.612-k,k=0,1,2,3,…,12.

假设顾客答对k题的概率最大,

则

解得4.2≤k≤5.2,所以k=5,所以P(Y=5)最大,

所以该顾客答对5题的概率最大,

最有可能返还5×120=600元现金.

高考预测

12.政府机构改革是深化管理体制改革的重要组成部分,按照精简、统一、效能的原则和决策权、执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求,着力优化组织结构、规范机构设置、完善运行机制.为调研某地社保中心的改革情况,现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百姓报销所花费的时间是否有所减少进行调查统计.假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全的情况下,来统计将各种所需资料带齐到当地社保中心相关部门申请办理,经审核等各流程办理通过所花费的时间.为此,在该市社保中心的60名报销人员中进行随机抽样,共抽取10人进行调查反馈,所选报销人员情况如表所示:

(1)估计这60名报销人员中办理时间大于等于10分钟且小于30分钟的人数;

(2)现从这10人中随机抽取2人,求这2人全部不来自第二组的概率;

(3)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查,设这3个人共来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望.

解:(1)在所抽取的10人进行调查反馈的样本中,办理时间大于等于10分钟且小于30分钟的频率是,

因此估计这60名报销人员中办理时间大于等于10分钟且小于30分钟的人数为60=48.

(2)记“从这10人中随机抽取2人,这2人全部不来自第二组”为事件A,

因为这10人中,来自第二组的有5人,不是来自第二组的有5人,

所以从这10人中随机抽取2人,

基本事件总数n==45,

这2人全部不来自第二组包含的基本事件个数m==10,

所以这2人全部不来自第二组的概率P(A)=

(3)由题意,X的所有可能取值为1,2,3,

P(X=1)表示这3个人共来自1个组,即来自第二组或第三组,

即P(X=1)=

P(X=2)表示这3个人来自2个组,即第一组与第二组或第一组与第三组或第二组与第三组或第二组与第四组或第三组与第四组,

即P(X=2)=

P(X=3)表示这3个人来自3个组,即第一、二、三组或第一、二、四组或第一、三、四组或第二、三、四组,

即P(X=3)=

所以随机变量X的分布列为

所以随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3