统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练30等差数列及其前n项和理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练30等差数列及其前n项和理，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2023·四川泸州三模]等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S6＝24，a3＝8，则数列{an}的公差d＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
2．[2023·福建三明模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝－14，S3＝－39，则S10＝( )
A．6 B．10
C．12 D．20
3．[2023·安徽合肥二模]设等差数列{an}的前n项和为Sn，S15＝5(a3＋a8＋am)，则m的值为( )
A．10 B．12
C．13 D．14
4．[2023·陕西西安二模]《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2 000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n天相遇，则n的最小整数值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．[2023·吕梁模拟]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和为( )
A． eq \f(55,2) B．55 C． eq \f(65,2) D．65
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A．－3 B．－ eq \f(5,2)
C．－2 D．－4
7．[2023·全国乙卷(理)]已知等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公差为 eq \f(2π,3)，集合S＝{cs an|n∈N*}，若S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b))，则ab＝( )
A．－1 B．－ eq \f(1,2)
C．0 D． eq \f(1,2)
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝ eq \f(1,2)n2－2n
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则 eq \f(S10,S5)＝________．
11．[2023·新乡模拟]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为______．
[能力提升]
13．[2023·广西来宾市模拟] 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，狄更斯的出生日是( )
A．星期五 B．星期六
C．星期天 D．星期一
14．[2023·济宁模拟]设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项不正确的是( )
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
15．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
16．[2023·陕西省西安中学四模]在等差数列{an}中，a7＝15，a2＋a6＝18，若数列{(－1)nan}的前n项之和为Sn，则S100＝________．
专练30 等差数列及其前n项和
1．B 设等差数列{an}的首相为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由等差数列的性质可得，a7＝S7－S6＝24，又∵a3＝8，
∴a7－a3＝a1＋6d－(a1＋2d)＝4d＝16解得d＝4.
2．B 因为a2＋a5＝2a1＋5d＝－14，S3＝3a1＋3d＝－39，
所以解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.
3．C 设等差数列{an}的公差为d，
由已知有S15＝ eq \f(15（a1＋a15）,2)＝ eq \f(15（2a1＋14d）,2)＝5[3a1＋(m＋8)d]，解得m＝13.
4．D 设驽马、良马第n天分别行an、bn里，
则数列{an}是以100为首项，以－2为公差的等差数列，
数列{bn}是以155为首项，以12为公差的等差数列，
由题意可得100n＋ eq \f(n（n－1）·（－2）,2)＋155n＋ eq \f(12n（n－1）,2)＝5n2＋250n≥2 000，
整理可得n2＋50n－400≥0，解得n≤－25－5 eq \r(41)(舍)或n≥5 eq \r(41)－25，
而7<5 eq \r(41)－25<8，故n的最小整数值为8.
5．C 设等差数列{an}的公差为d，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝3a1，,a1＋d＝3a1－1，))
所以a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋ eq \f(n（n－1）,2)＝ eq \f(n（n＋1）,2)，
所以 eq \f(Sn,n)＝ eq \f(n＋1,2)，
所以 eq \f(Sn＋1,n＋1)－ eq \f(Sn,n)＝ eq \f(n＋1＋1,2)－ eq \f(n＋1,2)＝ eq \f(1,2)，
所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是以1为首项， eq \f(1,2)为公差的等差数列，
数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前10项和T10＝10＋ eq \f(10×（10－1）,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(65,2).
6．D ∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，
∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.
7．B 方法一 由题意得an＝a1＋ eq \f(2π,3)(n－1)，cs an＋3＝cs [a1＋ eq \f(2π,3)(n＋2)]＝cs (a1＋ eq \f(2π,3)n＋ eq \f(4π,3))＝cs (a1＋ eq \f(2π,3)n＋2π－ eq \f(2π,3))＝cs (a1＋ eq \f(2π,3)n－ eq \f(2π,3))＝cs an，所以数列{cs an}是以3为周期的周期数列，又cs a2＝cs (a1＋ eq \f(2π,3))＝－ eq \f(1,2)cs a1－ eq \f(\r(3),2)sin a1，cs a3＝cs (a1＋ eq \f(4π,3))＝－ eq \f(1,2)cs a1＋ eq \f(\r(3),2)sin a1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cs a1＝cs a2≠cs a3，cs a1＝cs a3≠cs a2，cs a2＝cs a3≠cs a1.下面逐一讨论：
①当cs a1＝cs a2≠cs a3时，有cs a1＝－ eq \f(1,2)cs a1－ eq \f(\r(3),2)sin a1，得tan a1＝－ eq \r(3)，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2)cs a1＋ eq \f(\r(3),2)sin a1)＝－ eq \f(1,2)cs2a1＋ eq \f(\r(3),2)sina1cs a1＝ eq \f(－\f(1,2)cs2a1＋\f(\r(3),2)sina1cs a1,sin2a1＋cs2a1)＝ eq \f(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)tana1,tan2a1＋1)＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(3,2),3＋1)＝－ eq \f(1,2).
②当csa1＝cs a3≠cs a2时，有cs a1＝－ eq \f(1,2)cs a1＋ eq \f(\r(3),2)sin a1，得tan a1＝ eq \r(3)，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2)cs a1－ eq \f(\r(3),2)sin a1)＝－ eq \f(1,2)cs2a1－ eq \f(\r(3),2)sina1cs a1＝ eq \f(－\f(1,2)cs2a1－\f(\r(3),2)sina1cs a1,sin2a1＋cs2a1)＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)tana1,tan2a1＋1)＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(3,2),3＋1)＝－ eq \f(1,2).
③当csa2＝cs a3≠cs a1时，有－ eq \f(1,2)cs a1－ eq \f(\r(3),2)sin a1＝－ eq \f(1,2)cs a1＋ eq \f(\r(3),2)sin a1，得sin a1＝0，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2)cs a1－ eq \f(\r(3),2)sin a1)＝－ eq \f(1,2)cs2a1＝－ eq \f(1,2)(1－sin2a1)＝－ eq \f(1,2).
综上，ab＝－ eq \f(1,2)，故选B.
方法二 取a1＝－ eq \f(π,3)，则csa1＝ eq \f(1,2)，cs a2＝cs (a1＋ eq \f(2π,3))＝ eq \f(1,2)，cs a3＝cs (a1＋ eq \f(4π,3))＝－1，所以S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，ab＝－ eq \f(1,2)，故选B.
8．C 由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2)×9]－[9(n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2)×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋ eq \f(27×26,2)×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.
9．A 方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2.))选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝ eq \f(1,2)－2＝－ eq \f(3,2)，排除D.故选A.
10．4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以 eq \f(S10,S5)＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d)＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)×2a1,5a1＋\f(5×4,2)×2a1)＝ eq \f(100,25)＝4.
11．51
解析：设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
设塔群共有n层，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋ eq \f(（n－4）（n－5）,2)×2＝108，
解得n＝12(n＝－8舍去).
故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
12．3
解析：设{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋7d＝25，,6a1＋15d＝57，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝3，))所以{an}的公差为3.
13．A 因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，
所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又210＝52×4＋2，
所以这210年有52个闰年，158个平年，
所以共有52×366＋158×365＝76 702天，
因为76 702＝10 957×7＋3，
所以狄更斯的出生日是星期五．
14．C 因为S14>0，
所以S14＝ eq \f(14×（a1＋a14）,2)＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，
即a7＋a8>0，
因为S15<0，
所以S15＝ eq \f(15×（a1＋a15）,2)＝15a8<0，
所以a8<0，所以a7>0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，
则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．
15．8
解析：∵a7＋a8＋a9＞0，a7＋a9＝2a8，
∴3a8＞0，即a8＞0.
又∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列前8项的和最大．故n＝8.
16．100
解析：设等差数列{an}公差为d，由2a4＝a2＋a6＝18得：a4＝9，则d＝ eq \f(a7－a4,7－4)＝ eq \f(15－9,3)＝2，
an＝a4＋(n－4)d＝2n＋1，当n为偶数时，(－1)n－1an－1＋(－1)nan＝an－an－1＝d＝2，
所以S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)＝50×2＝100.