新高考数学一轮复习微专题专练30等差数列及其前n项和（含详解）

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一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝( )
A．6 B．7
C．8 D．10
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝ eq \f(5,2) ，S10＝15，则a7＝( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A．－3 B．－ eq \f(5,2)
C．－2 D．－4
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝( )
A．13 B．49
C．35 D．63
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝ eq \f(1,2) n2－2n
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则 eq \f(S10,S5) ＝________．
11．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则 eq \f(S2 024,2 024) － eq \f(S2 023,2 023) 的值为________．
12．[2022·全国乙卷(文)，13]记Sn为等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
[能力提升]
13．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．
14．(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是( )
A.d＝－2
B．a1＝22
C．a3＋a4＝30
D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值
15．[2023·全国乙卷(理)]已知等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的公差为 eq \f(2π,3) ，集合S＝{cs an|n∈N*}，若S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b)) ，则ab＝( )
A．－1 B．－ eq \f(1,2)
C．0 D． eq \f(1,2)
16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．
专练30 等差数列及其前n项和
1．D 设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d))，,a1＋d＋a1＋3d＝8，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋2d＝0，,a1＋2d＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.)) ∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.
2．A 设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得 eq \f(10（a1＋a10）,2) ＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝ eq \f(5,2) ，所以a7＝ eq \f(1,2) .故选A.
3．B 设等差数列{an}的公差为d，
则3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×2,2)d)) ＝2a1＋d＋4a1＋ eq \f(4×3,2) d，
得d＝－ eq \f(3,2) a1，又a1＝2，
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.
4．C ∵S6＝ eq \f(（a1＋a6）×6,2) ＝48，∴a1＋a6＝16，
又a4＋a5＝24，
∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，
∴3d－d＝8，d＝4.
5．B 设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以2a5＝22，即a5＝11.
又因为S11＝ eq \f(（a1＋a11）×11,2) ＝ eq \f(2a6×11,2) ＝143，解得11a6＝143，即a6＝13.
所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，
所以Sn＝ eq \f(（a1＋an）n,2) ＝(n＋2)n.
令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－15(舍).故选B.
6．D ∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，
∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.
7．B ∵Sn＝an2＋bn，∴{an}为等差数列，
∴S7＝ eq \f(（a1＋a7）×7,2) ＝ eq \f(（a2＋a6）×7,2) ＝ eq \f(（3＋11）×7,2) ＝49.
8．C 由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2) ×9]－[9(n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2) ×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋ eq \f(27×26,2) ×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.
9．A 方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2，)) ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2.)) 选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝ eq \f(1,2) －2＝－ eq \f(3,2) ，排除D.故选A.
10．4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以 eq \f(S10,S5) ＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d) ＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)×2a1,5a1＋\f(5×4,2)×2a1) ＝ eq \f(100,25) ＝4.
11．2
解析：由等差数列的前n项和Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d得 eq \f(Sn,n) ＝a1＋ eq \f(n－1,2) d＝a1＋(n－1) eq \f(d,2) ，所以{ eq \f(Sn,n) }仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以 eq \f(S2 024,2 024) － eq \f(S2 023,2 023) 的值为2.
12．2
解析：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
13．1.5
解析：设此等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，由题意得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S12＝84，,a1＋a5＋a9＝16.5，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12a1＋\f(12×11,2)d＝84，,3a5＝3（a1＋4d）＝16.5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1.5，,d＝1，)) 所以夏至的日影子长为1.5尺．
14．AC 对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，Sn最大，所以选项D错误．故选AC.
15．B 方法一 由题意得an＝a1＋ eq \f(2π,3) (n－1)，cs an＋3＝cs [a1＋ eq \f(2π,3) (n＋2)]＝cs (a1＋ eq \f(2π,3) n＋ eq \f(4π,3) )＝cs (a1＋ eq \f(2π,3) n＋2π－ eq \f(2π,3) )＝cs (a1＋ eq \f(2π,3) n－ eq \f(2π,3) )＝cs an，所以数列{cs an}是以3为周期的周期数列，又cs a2＝cs (a1＋ eq \f(2π,3) )＝－ eq \f(1,2) cs a1－ eq \f(\r(3),2) sin a1，cs a3＝cs (a1＋ eq \f(4π,3) )＝－ eq \f(1,2) cs a1＋ eq \f(\r(3),2) sin a1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cs a1＝cs a2≠cs a3，cs a1＝cs a3≠cs a2，cs a2＝cs a3≠cs a1.下面逐一讨论：
①当cs a1＝cs a2≠cs a3时，有cs a1＝－ eq \f(1,2) cs a1－ eq \f(\r(3),2) sin a1，得tan a1＝－ eq \r(3) ，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2) cs a1＋ eq \f(\r(3),2) sin a1)＝－ eq \f(1,2) cs2a1＋ eq \f(\r(3),2) sina1cs a1＝ eq \f(－\f(1,2)cs2a1＋\f(\r(3),2)sina1cs a1,sin2a1＋cs2a1) ＝ eq \f(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)tana1,tan2a1＋1) ＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(3,2),3＋1) ＝－ eq \f(1,2) .
②当csa1＝cs a3≠cs a2时，有cs a1＝－ eq \f(1,2) cs a1＋ eq \f(\r(3),2) sin a1，得tan a1＝ eq \r(3) ，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2) cs a1－ eq \f(\r(3),2) sin a1)＝－ eq \f(1,2) cs2a1－ eq \f(\r(3),2) sina1cs a1＝ eq \f(－\f(1,2)cs2a1－\f(\r(3),2)sina1cs a1,sin2a1＋cs2a1) ＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)tana1,tan2a1＋1) ＝ eq \f(－\f(1,2)－\f(3,2),3＋1) ＝－ eq \f(1,2) .
③当csa2＝cs a3≠cs a1时，有－ eq \f(1,2) cs a1－ eq \f(\r(3),2) sin a1＝－ eq \f(1,2) cs a1＋ eq \f(\r(3),2) sin a1，得sin a1＝0，所以ab＝cs a1(－ eq \f(1,2) cs a1－ eq \f(\r(3),2) sin a1)＝－ eq \f(1,2) cs2a1＝－ eq \f(1,2) (1－sin2a1)＝－ eq \f(1,2) .
综上，ab＝－ eq \f(1,2) ，故选B.
方法二 取a1＝－ eq \f(π,3) ，则csa1＝ eq \f(1,2) ，cs a2＝cs (a1＋ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(1,2) ，cs a3＝cs (a1＋ eq \f(4π,3) )＝－1，所以S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1)) ，ab＝－ eq \f(1,2) ，故选B.
16. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,8)))
解析：方法一 由于Sn＝7n＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝ eq \f(d,2) n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－\f(d,2))) n，
设f(x)＝ eq \f(d,2) x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－\f(d,2))) x，则其图象的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2) － eq \f(7,d) .当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，故7.5＜ eq \f(1,2) － eq \f(7,d) ＜8.5，解得－1＜d＜－ eq \f(7,8) .
方法二 由题意，得a8＞0，a9＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－ eq \f(7,8) .