备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）5-2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）（解析版）

5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）

1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（       ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【解析】,,即,解得,故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】因为，所以.故选：D

3．（2022·全国·模拟预测）设向量，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】向量，，，解得 ，

故选：D

4．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，又与的夹角为钝角，

当与共线时， ，

所以且与的不共线，即且，所以，故选：D．

5．（2022·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（       ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】C

【解析】由得，即，，，

，，

与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选：C．

6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）

A．0 B．48 C． D．

【答案】C

【解析】由题意，得，又与反向共线，故，此时，

故.故选：C.

7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）

A． B．

C．方向上的投影是 D．

【答案】C

【解析】由已知，，

所以，，

因为，所以不平行，A错，

因为，所以不垂直，B错，

因为方向上的投影为，C对，

因为，所以不垂直，D错，故选：C.

8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.

故选：D.

9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，，则以下与垂直的向量坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，

所以，，

，；故选：B

10．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知向量，向量.则向量在向量上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在上投影向量故选：A

11．（2022·江西·赣州市第三中学）已知向量，.若，则可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵，，∴，

∴，又∵，

∴或，

对选项A，若，，

解得，此时不成立；

对选项B，若，，

解得，此时不成立；

对选项C，若，，

解得，此时成立；

对选项D，若，，且

，此时不成立.故选：C

12．（2022·安徽淮南·二模）已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】等比数列公比为q，而，则，解得，

，，则，

对于A，，因，则A不是；

对于B，，因，则B不是；

对于C，，因，则C不是；

对于D，，因，则D是.

故选：D

13．（2022·全国·高三专题练习）若向量，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为向量，，

对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；

对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；

对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，

对于D：，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；

故选：B.

14．（2022·全国·高三专题练习）已知点，则满足的的坐标为______.

【答案】.

【解析】设的坐标为，且，

因为，可得，

可得，所以的坐标为.故答案为：.

1．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，若，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图：以为原点，建立如图的平面直角坐标系，

因为四边形是矩形，，，，

则，，，，则，，

故，

因为，所以，故选：B.

2．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（       ）

\

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，，

，

，，即的取值范围为.

故选：B.

3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】

设，则，，

整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，

又在圆上，故的最大值是.

故选：B.

4．（2022·重庆·二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（       ）

A．13 B． C．5 D．

【答案】A

【解析】建立如图所示坐标系，

则点，

设点，且，

则

故当 时，有最大值为13

故选：A.

5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，所以，，，设，，

则，，，

所以，

因为，所以，

所以的取值范围是，

故选：C.

6．（2022·湖南·一模）在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，

设P(x，y)，则，，

∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒

故选：C.

7．（2022·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB， ∠ADC=，则的最小值为（       ）

A．- B．-1 C．- D．-

【答案】D

【解析】由题设，可得如下示意图，

所以，

因为，即在以中点为圆心，为半径的劣弧上，

所以要使的最小，即最大即可，

由圆的性质知：当为劣弧的中点时最大，又AC=，

此时，故的最小值为-.

故选：D

8．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．2

【答案】A

【解析】如图，设，

当时，取得最小值，

过作，即取得最小值为，

因为与的夹角为，

所以，

所以.

故选：A.

9．（2022·宁夏·银川一中一模（文））在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（       ）

A．4 B．

C．2 D．

【答案】C

【解析】依题意在直角中，，，

以为原点建立如图所示平面直角坐标系，

，设是的中点，则.

，所以满足，

设（为参数，），

依题意，

即，

，

，，

所以当时，取得最大值为.

故选：C

10．（2022·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（       ）

A． B．12 C． D．24

【答案】B

【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形

所以点，，，

所以，

所以，

所以当， 的最小值为.

故选：B

1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状是（       ）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．既非等腰三角形又非直角三角形

【答案】A

【解析】，，即，，

则的形状是直角三角形.故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（       ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【答案】C

【解析】设的中点是，

，

即，所以，

所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.

3（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）已知,,其中，则以下结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则或

C．若，则

D．若，则

【答案】BCD

【解析】对于A，若，则，则，

因为，所以，则或或，故A不正确；

对于B，若，则，则，

因为，所以，所以或，

所以或，故B正确；

对于C，，则

，故C正确；

对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.

故选：BCD.

4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（       ）

A．

B．当时，

C．最大值为

D．当时，

【答案】CD

【解析】易知，

，故A错误；

当时，，，故B错误；

由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；

因为，且为第四象限角，所以.

，，即，

，故D正确.

故选：.

5．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，O是内一点，且满足为，，则___________.

【答案】4

【解析】中，，

由余弦定理可得，

，

，

；

，，且，

为的重心，且，如图所示；

则，

解得．

故答案为：．

6．（2022·广东茂名·高三阶段练习）设，，，，是一组平面向量，记，若向量，且，则_________．

【答案】5或6

【解析】设数列满足，则数列的前n项和为

，

∴，又，，

∴，即，

解得，或，

故5或6.

7．（2022·上海·高三专题练习）A、B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.

【答案】0

【解析】设，直线

则，消参可得C的轨迹方程为，

即C点在圆心为,半径为的圆上，

过圆心做交于, 如图，

由点到直线距离公式可得，

（其中T为线段AB的中点）

由图可知，C运动到点，且Q与T重合时，，

所以的最小值为，

故答案为：

8．（2022·河南安阳·）已知向量，其中，若，则___________．

【答案】

【解析】因为，所以，即，

因为，所以，因此，

所以，故答案为：