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专题8-2 立体几何截面问题的十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）
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这是一份专题8-2 立体几何截面问题的十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版），共15页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练11等内容，欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 做截面基本功：补全截面方法1
\l "_Tc26924" 【题型二】 截面形状的判断3
\l "_Tc12217" 【题型三】 平行关系确定截面4
\l "_Tc30563" 【题型四】 垂直关系确定的截面5
\l "_Tc30563" 【题型五】 求截面周长6
\l "_Tc30563" 【题型六】 求截面面积6
\l "_Tc30563" 【题型七】 球截面7
\l "_Tc30563" 【题型八】 截面分体积8
\l "_Tc30563" 【题型九】 不规则截面（曲线型截面）8
\l "_Tc30563" 【题型十】 截面最值10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练11
【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法
【典例分析】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是AB、AA1的中点，点E、F、C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是
【提分秘籍】
基本规律
截面训练基础：
模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如图
方法二：平行线法。做法如图
【变式演练】
1.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形 B．平面四边形 C．平面五边形D．平面六边形
2.如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ）
A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点
3.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
【题型二】 截面形状的判断
【典例分析】
一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
一些容易出错误的地方
1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。
2.不会与同一个表面有两条交线。
3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）
4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系
【变式演练】
1.如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
2.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形C．正五边形D．正六边形
3.在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
【题型三】 平行关系确定截面
【典例分析】
在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）
A．B．C．D．无法确定
【提分秘籍】
基本规律
平行关系确定的截面作图，一般情况下，利用线线、线面、面面特别是线面的平行性质定理推导。
【变式演练】
1.在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.
2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．4条
3.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
【题型四】 垂直关系确定的截面
【典例分析】
已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为
A．B．C．2D．
【提分秘籍】
基本规律
垂直关系确定的截面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直。
【变式演练】
1.如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）
A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值
2.正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．α截得的截面形状可能为正三角形B．与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形D．β截得的截面形状可能为正方形
3.已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ）
A．B．平面
C．平面平面D．平面截正方体所得的截面面积为
【题型五】 求截面周长
【典例分析】
如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.截面周长，可以利用多面体展开图求。
2.截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解。
【变式演练】
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2B．C．D．
2.已知在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
3.已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 求截面面积
【典例分析】
已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【提分秘籍】
基本规律
求截面面积：
1.判断界面是否规则图形
2.求截面各边长度
3.规则图形，可以用对应面积公式求
4.不规则图形，可以分割为三角形等图形求。
5.难点：动态面积最值，可参考本专题10
【变式演练】
1.正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）
A．5B．C．D．
2.在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
3.已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为___________，其面积为___________.
【题型七】 球截面
【典例分析】
正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
计算球截面
1.确定球心和半径
2.寻找做出并计算截面与球心的距离
3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质
4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
【变式演练】
1.已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
3.已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 截面分体积
【典例分析】
已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________.
【提分秘籍】
基本规律
对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求
【变式演练】
1.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
2.如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
3.三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【题型九】 不规则截面（曲线形截面）
【典例分析】
如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
不规则截面，会产生截面图像为圆锥曲线，可参考专题8-1立几中的轨迹 专题
【变式演练】
1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.
2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.
3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．
【题型十】 截面最值
【典例分析】
已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
截面有关的最值计算，多从这三方面
极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性）
坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。
化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算
【变式演练】
1.在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ）
A． B．C．D．
3.如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
1（宁夏银川市第六中学2021-2022学年上学期第一次8月考）.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面
C．D．异面直线与所成的角为45°
2.（重庆市西南大学附属中学2021-2022学年）如图：为圆锥的轴截面，，，点E为的中点，过点E作既与直线平行又与平面垂直的截面，该平面与圆锥底面上的圆周交于F，G两点，记直线与圆锥底面所成的角为，记直线与截面所成的角为，则与的关系为（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
3.（2021年新高考北京数学高考）如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．点、到平面的距离相等 B．与为异面直线
C． D．平面截该正方体的截面为正六边形
4.（安徽省六安市第一中学2021-2022学年上学期开学考）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线PM与BD所成的角为45°
5.（北京市北京二中2020届高三12月份月考）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为．
①当时，为四边形；②当时，与的交点满足；
③当时，为六边形；④当时，的面积为．
则下列选项正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
6.（百师联盟2022届高三上学期开学摸底联考（全国1卷））如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面所成角的正弦值最大为
7.（安徽师范大学附属中学2020-2021学年下学期）如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
8.（湖北省武汉市华师一附中2020-2021学年下学期）用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9.（重庆市西南大学附属中学2021届高三下学期第四次月考）已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为.若的体积为（其中），则___________.
10.（重庆市渝东八校2020-2021学年下学期）已知四面体，分别在棱，，上取等分点，形成点列，，，过，，作四面体的截面，记该截面的面积为，则（ ）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．数列为等差数列D．数列为等比数列
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 做截面基本功：补全截面方法1
\l "_Tc26924" 【题型二】 截面形状的判断3
\l "_Tc12217" 【题型三】 平行关系确定截面4
\l "_Tc30563" 【题型四】 垂直关系确定的截面5
\l "_Tc30563" 【题型五】 求截面周长6
\l "_Tc30563" 【题型六】 求截面面积6
\l "_Tc30563" 【题型七】 球截面7
\l "_Tc30563" 【题型八】 截面分体积8
\l "_Tc30563" 【题型九】 不规则截面（曲线型截面）8
\l "_Tc30563" 【题型十】 截面最值10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练11
【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法
【典例分析】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是AB、AA1的中点，点E、F、C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是
【提分秘籍】
基本规律
截面训练基础：
模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如图
方法二：平行线法。做法如图
【变式演练】
1.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形 B．平面四边形 C．平面五边形D．平面六边形
2.如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ）
A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点
3.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
【题型二】 截面形状的判断
【典例分析】
一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
一些容易出错误的地方
1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。
2.不会与同一个表面有两条交线。
3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）
4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系
【变式演练】
1.如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
2.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形C．正五边形D．正六边形
3.在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
【题型三】 平行关系确定截面
【典例分析】
在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）
A．B．C．D．无法确定
【提分秘籍】
基本规律
平行关系确定的截面作图，一般情况下，利用线线、线面、面面特别是线面的平行性质定理推导。
【变式演练】
1.在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.
2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．4条
3.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
【题型四】 垂直关系确定的截面
【典例分析】
已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为
A．B．C．2D．
【提分秘籍】
基本规律
垂直关系确定的截面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直。
【变式演练】
1.如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）
A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值
2.正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．α截得的截面形状可能为正三角形B．与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形D．β截得的截面形状可能为正方形
3.已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ）
A．B．平面
C．平面平面D．平面截正方体所得的截面面积为
【题型五】 求截面周长
【典例分析】
如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.截面周长，可以利用多面体展开图求。
2.截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解。
【变式演练】
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2B．C．D．
2.已知在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
3.已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 求截面面积
【典例分析】
已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【提分秘籍】
基本规律
求截面面积：
1.判断界面是否规则图形
2.求截面各边长度
3.规则图形，可以用对应面积公式求
4.不规则图形，可以分割为三角形等图形求。
5.难点：动态面积最值，可参考本专题10
【变式演练】
1.正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）
A．5B．C．D．
2.在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
3.已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为___________，其面积为___________.
【题型七】 球截面
【典例分析】
正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
计算球截面
1.确定球心和半径
2.寻找做出并计算截面与球心的距离
3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质
4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
【变式演练】
1.已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
3.已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 截面分体积
【典例分析】
已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________.
【提分秘籍】
基本规律
对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求
【变式演练】
1.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
2.如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
3.三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【题型九】 不规则截面（曲线形截面）
【典例分析】
如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
不规则截面，会产生截面图像为圆锥曲线，可参考专题8-1立几中的轨迹 专题
【变式演练】
1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.
2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.
3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．
【题型十】 截面最值
【典例分析】
已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
截面有关的最值计算，多从这三方面
极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性）
坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。
化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算
【变式演练】
1.在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ）
A． B．C．D．
3.如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
1（宁夏银川市第六中学2021-2022学年上学期第一次8月考）.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面
C．D．异面直线与所成的角为45°
2.（重庆市西南大学附属中学2021-2022学年）如图：为圆锥的轴截面，，，点E为的中点，过点E作既与直线平行又与平面垂直的截面，该平面与圆锥底面上的圆周交于F，G两点，记直线与圆锥底面所成的角为，记直线与截面所成的角为，则与的关系为（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
3.（2021年新高考北京数学高考）如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．点、到平面的距离相等 B．与为异面直线
C． D．平面截该正方体的截面为正六边形
4.（安徽省六安市第一中学2021-2022学年上学期开学考）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线PM与BD所成的角为45°
5.（北京市北京二中2020届高三12月份月考）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为．
①当时，为四边形；②当时，与的交点满足；
③当时，为六边形；④当时，的面积为．
则下列选项正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
6.（百师联盟2022届高三上学期开学摸底联考（全国1卷））如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面所成角的正弦值最大为
7.（安徽师范大学附属中学2020-2021学年下学期）如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
8.（湖北省武汉市华师一附中2020-2021学年下学期）用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9.（重庆市西南大学附属中学2021届高三下学期第四次月考）已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为.若的体积为（其中），则___________.
10.（重庆市渝东八校2020-2021学年下学期）已知四面体，分别在棱，，上取等分点，形成点列，，，过，，作四面体的截面，记该截面的面积为，则（ ）
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．数列为等差数列D．数列为等比数列
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