专题8-2 立体几何中的截面及其归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题8-2 立体几何中的截面及其归类

目录
【题型一】截面基础：截面形状 1
【题型二】截面作图基本功：相交线法 3
【题型三】截面作图基本功：平行线法 5
【题型四】求截面面积 6
【题型五】求截面周长 8
【题型六】求截面所分体积 11
【题型七】球截面：外接球 15
【题型八】球截面：内切球 17
【题型九】圆锥截面 20
【题型十】截面与所对应角度 22
【题型十一】截面恒平行于直线或平面 25
【题型十二】截面恒垂直于直线或平面 29
真题再现 32
模拟检测 34





【题型一】截面基础：截面形状
【典例分析】
用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（    ）
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱锥 D．正方体
【答案】B
【分析】根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征判断即可
【详解】用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.
故选：B.
【变式演练】
1.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______．

【答案】①⑤
【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故答案为: ①⑤
9..用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（    ）
A．圆锥圆柱 B．圆柱球体 C．圆锥球体 D．圆柱圆锥球体
第08练 基本立体图形与直观图-2022年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）
【答案】D
【分析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可.
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选：D.
2.在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】把截面补形可得利用四点共面可得．
【详解】解：如图，把截面补形为四边形，

连接，，
因为，分别为，的中点，则，
又在正方体中，
所以，则四点共面.
则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.
故选：B.
3..用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（    ）
①等边三角形    ②直角梯形    ③菱形    ④五边形
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断.
【详解】解：如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，
故选：C


【题型二】截面作图基本功：相交线法
【典例分析】
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面

特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。

方法一：以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），

先用上表面（红色的）来做：
1、 所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G
2、 此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.
3、 连接HB，则的如右图的截面。

再用右表面绿色的来做：
1、 则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I
2、 此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.
3、 连接FJ，则出右图的截面。


最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。



【题型三】截面作图基本功：平行线法
【典例分析】
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面


本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。
平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面

方法如下：
1、 寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）
2、 在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。
3、 注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）
4、 注意这仨面的相交棱，
5、 下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图
6、 分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。



【题型四】求截面面积
【典例分析】
正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据题意画出截面，再根据正方形的棱长以及梯形的面积公式即可求解.
【详解】
解：如图所示：
延长交于点，则，即为中点，
连接，取中点，连接，则，
，，，四点共面，，，，
截面如图所示：
在中，边上的高，记边上的高为，
则，，则所截得的截面面积为：.故选：D.


【变式演练】
1.在棱长为6的正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面，则该截面的面积是___________．
【答案】
【分析】先确定截面为等腰梯形，画出平面图形，计算即得解.
【详解】如图，在正方体中，E是棱AB的中点，过作正方体的截面为等腰梯形．画出平面图形，过点作,垂足为.
因为，，，所以，
所以截面的面积为.
故答案为：

2..如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 _____．

【答案】##1.125
【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可
【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，
∵分别是，的中点，∴，且，
∵，∴，
所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高为，
∴截面面积为，故答案为：
3..正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、BC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______．
【答案】
【分析】利用两平行线确定一个平面，作出平面截正方体的截面，进而求其面积即可.
【详解】取的中点，连接，，如图，
由正方体的几何特征可知： ，，且
所以四边形为矩形，其面积 即为截面面积，
故答案为：.

【题型五】求截面周长
【典例分析】
如图正三棱锥底面边长为，侧棱长为，，分别为，上的动点，则截面周长的最小值______.

【答案】
【分析】作出正三棱锥侧面展开图，可知所求周长最小值即为，根据平行关系、相似可推导得到的长，加和可得结果.
【详解】正三棱锥侧面展开图如下图所示：
若截面周长最小，则共线，即周长最小值为；
由对称性可知：，，，
同理可得：，
，，，，，，
又，，，.故答案为：.
【变式演练】
1.已知正方体的棱长为，、分别是，的中点，在上且满足，过、、三点作正方体的截面，并计算该截面的周长.
【答案】
【分析】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面，通过相似三角形及勾股定理计算依次求得各边长即可求得结果.
【详解】延长MP交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交 的延长线于F，连接NF交，连接MH，则五边形为过三点的平面截正方体所得的截面.
由已知可得，，得，
则，得，则，
，则，，
，
截面五边形的周长为.

2.已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（    ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，延长交于，连接交于点，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
【详解】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则
所以, 则直线平面.延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.
则平面截该正方体所得的截面图形为 由条件可得,则, 则 ,
取 的中点，连接，则，所以 所以,则
则
所以截面图形周长为
故选：D
3.如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______．

【答案】
【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在，由勾股定理能求出的值．
【详解】解：如图，沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：

则即为的周长的最小值，且，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：

【题型六】求截面所分体积
【典例分析】
如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.

【答案】
【分析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱，，上取点，，，则，再设设，，分析可得，，，与，间的关系，再由换元法结合对勾函数的单调性求得答案．
【详解】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱，，上取点，，，
则，
设与平面所成角为，则;再来解答本题：设，， ,则，，，
，，
则，，，则，，
令，则，，，，，
当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，
故最小值为2，当 时，都取到最大值 ，
则，（当且仅当时，取最小值），
，，故答案为：，．

【变式演练】
1.如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值.
【详解】设正方体棱长为1，，
如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，
由面面平行的性质可知：，延长，相交于点，则平面，且平面，又平面平面，所以在直线上，即三线共点，
所以几何体为三棱台，其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，
所以，解得：，
所以.故选：C
2.如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.
【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，则台体的体积，解之得，
所以,,所以截面的周长为.
故选：D
3.如图，正方体，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，记，则___________.

【答案】
【分析】根据平面的基本性质画出过的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求，即可得结果.
【详解】延长交的廷长线与点，连接交于点，连接：
延长交的延长线与点，连接交于点，连接：
所以过的截面为，如下图示：
设正方休的棱长为，
则过的截面下方几何体的体积为，
所以另一部分体积为，则.故答案为：

【题型七】球截面：外接球
【典例分析】
棱长为的正四面体的4个顶点都在球的表面上，、分别为棱，的中点，则经过，两点的球的截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作图，将正四面体补成正方体，然后根据图像进行分析求解
【详解】如图，将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，则正方体的中心即正四面体外接球的球心，且正方体的棱长为2.外接
球的半径为.作的中点为，连接，，，则，，.设经过，两点的球的截面为，当时，截面面积最小，此时截面面积为.

故答案选：C

【变式演练】
1.已知球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，可得最大的截面圆；过且垂直的截面圆最小，利用
可得解.
【详解】如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，
可得，，设球的半径为，在三角形中，由，
即，解得，故最大的截面面积为，
在三角形中，，，由余弦定理得，
在三角形中，，设过且垂直的截面圆的半径为，，故最小的截面面积为.所以过点作球的截面，所以截面圆面积的取值范围是，故选：BCD．
2.已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为平面平面点在上，且过点作四边形外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为___________.
【答案】
【分析】取中点为连接，球心在平面的投影为外心，
在上，作于依题意可证由面面垂直的性质得到平面，求出、，从而求出外接球的半径，再连接，即可得到三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从而得解；
【详解】解：由题知和为等边三角形，取中点为连接，
则由平面平面平面平面故平面，，易知球心在平面的投影为的外心，
在上，作于，易得则在中，，
所以外接球半径，连接
因为所以三点共线，所以
当截面过球心时截面面积最大为，当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，面积为，所以截面面积最大值与最小值之比为是.故答案为：

3.已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设的中心为，球的半径为，连接，，，，首先在中可得，解出，然后求出，然后过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，然后可得答案.
【详解】
如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，
则，.
在中，，解得，则，由，得.
在中，.所以.
过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，则最小面积为.当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为故选：C

【题型八】球截面：内切球
【典例分析】
在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（    ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，M、N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与内切球O的表面相交于E、F两点，连结MO交对棱于P，则P为对棱的中点.
取EF的中点G，则
又易知，从而
且
在中，，则
故,选B.


【变式演练】
1.．棱长为的正方体内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的，的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（　 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心,,,,故到直线的距离为,而球的半径为,所以在球内的线段长度为.故选.

2.如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与分别截于，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）

A． B．
C． D．的大小关系不能确定
【答案】C
【详解】分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．
解答：解：连OA、OB、OC、OD，
则

又
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF公共，
故
故选C
3.已知球O为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为______．
【答案】
【分析】由题意画出图形，可知平面截球O的截面为正三角形的内切圆，利用等面积法求圆的半径，则答案可求．
【详解】正方体的内切球切正方体的六个面于各面的中心，
则平面截球O的截面为正三角形的内切圆，
∵正方体的棱长为1，
∴正三角形的边长为，
设其内切圆的半径为，则，即．
∴平面截球O的截面面积为.
故答案为：．


【题型九】圆锥截面
【典例分析】
已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求.
【详解】如图，由题可知，，

又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即，
在中，.故选：A.

【变式演练】
1.已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成的锐二面角的余弦值为，圆锥被平面截得的两个几何体设为.若的体积为（其中），则___________.
【答案】
【分析】作出图形，由已知求得，求出以为底面的三棱锥的体积，即可求解
【详解】设平面与底面的交线为，底面圆心为点，设底面圆半径为.
由，即
于点，则余弦值为，则，，
又，则.

故答案为：
2.一个圆锥的侧面展开图是中心角为270°的扇形，且扇形半径为4，则过圆锥顶点的截面的面积的最大值为（    ）
A． B． C．8 D．
【答案】C
【分析】首先判断圆锥底面半径，再判断截面顶角的范围，即可判断截面三角形面积的最大值.
【详解】由扇形弧长公式可知，中心角是的扇形，所对的弧长，
设圆锥底面半径为，则，即，，
设过圆锥顶点的截面三角形的顶角的最大角为，则，
所以是钝角，那么过圆锥顶点的截面三角形的顶角为直角时，三角形的面积最大，
最大值.故选：C
3.圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？
【答案】答案见解析
【分析】首先把命题作为真命题进行推理,求出轴截面面积以及截面三角形面积，根据命题为真，举反例即可得出结论.
【详解】首先把命题作为真命题进行推理．如图所示，
设圆锥的轴截面三角形顶角为，任意一截面三角形的顶角为，母线为l，
则轴截面面积为．而截面三角形面积为．若命题为真，则，即，其中．
当时，成立，但当时，对，
有，轴截面不是面积的最大值．
这时取便是一个反例．故正确的结论应是


【题型十】截面与所对应角度
【典例分析】
在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最小时，记过点的平面截正方体所得到的截面为，则截面的周长为__________.
【答案】或
【分析】
取为中点，为中点，进而证明平面平面，故在上，再根据直线与平面所成角的正弦值为得与重合时，直线与平面所成角最小，再分别讨论的两种位置情况即可得答案.
【详解】
取为 中点，为中点，
如图：

由正方体的性质得，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
由中位线性质得：，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面，
所以在上，
又因为直线与平面所成角为，，
所以当最大时，直线与平面所成角最小，
即与重合时，直线与平面所成角最小，
当与 重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为四边形，其边长为1和，其周长为；
当与重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为梯形，该梯形为等腰梯形，上底为，下底为，腰为，其周长为；故答案为：或，

【变式演练】
1.过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.
【详解】作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，
则截面，AM在截面内，即有，故,所以 ,
即到该截面的距离是2，故选：C
2.．圆锥的底面半径为，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______.
【答案】
【分析】确定高与截面所成的角，如图作出点到的垂线，并说明的长是点到平面的距离，然后在直角三角形中求得点面距．
【详解】如图，底面直径，
平面，平面，则，
又，平面，则平面，
平面，所以平面平面，
所以在平面的射影是，所以是与平面所成的角，即，
又是母线与底面所成的角，即，
所以在直角中，，
作，垂足为，则平面，且．
故答案为：．

3.．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出图形，求得A到PQ的距离为定值，然后求PQ的最小值，代入三角形面积公式得答案．
【详解】过B作BO⊥PQ，垂足为O，连接AO，如下图所示：
∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，∴AB⊥PQ，
又BO⊥PQ，且AB∩BO＝B，∴PQ⊥平面ABO，则PQ⊥AO，
则∠BAO为AB与平面α所成的角为30°，
∵AB＝1，∴AO＝为定值．
要使截面APQ面积最小，则PQ最小，此时BO⊥PQ，
PQ的最小值为．
∴截面APQ面积的最小值是S＝．
故选：B



【题型十一】截面恒平行于直线或平面
【典例分析】
（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；

（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．

【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五．
【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状.
【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形，
由截面作法可知，所以截面四边形的周长为.

（2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五.


【变式演练】
1..如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点，点P在平面内，若直线平面，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可.
【详解】
如图，连接，

因为E，F，G分别为的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
所以点P在直线上，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为，
在中，有，所以．
故选：D
2.
在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，过点作与截面平行的截面，则所得截面的面积为____________.
【答案】
【分析】
正方体中作过A的截面与平面PB1C平行，再根据题中的数据求出截面的面积．
【详解】解：取CD、A1B1的中点M、N，连结C1M、MA、AN、NC1
∵C1N//PC，B1P∥AN，B1P∩CP=P，C1N∩AN=N，∴平面C1MAN//平面PCB1 平面C1MAN就是过点A与界面平行的截面。由图可知,平面为菱形，且
正方体中，根据余弦定理，，且
所以截面的面积
故答案为：
3.如图，在棱长为2的正方体中，M是的中点，点P是正方形（含内部）上的动点，且截面，则线段MP形成的区域面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H.连接MN,MH,NR,RH.先证明出平面MNRH∥平面.判断出线段MP扫过的图形是△MNR.求出△MNR的面积即可.
【详解】取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H.连接MN,MH,NR,RH.

在棱长为2的正方体中，,所以四边形CNMB1为平行四边形，所以.
又H、R为中点，所以,所以,即M、N、R、H四点共面.因为，面，面，所以面.同理可证：面.又面,面,,
所以平面MNRH∥平面.所以平面MNRH.
又点P是正方形（含内部）上的动点，线段MP扫过的图形是△MNR.
由AB=2,则,, ,所以，且∠MRN是直角,所以线段MP形成的区域面积即为△MNR的面积，为.
故选:A

【题型十二】截面恒垂直于直线或平面
【典例分析】
如图，正三棱柱的高为4，底面边长为是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为__________．

【答案】
【分析】
由，可得当最大时，最小，建立空间直角坐标系求到底面距离的最大值，则答案可求．
【详解】
解：设中点为，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
得，0，，设，0，，则，，
，，得，则，
当时，，
又，
三棱锥体积的最小值为．
故答案为：．


【变式演练】
1.如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．

【答案】．
【分析】
先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，从而得到截面为MIHGFE，利用正方体的棱长求出截面的周长即可．
【详解】
在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，
因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，

设正方体的棱长为3a，则，，
所以截面MIHGFE的周长为，
又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，
故截面多边形的周长为．
故答案为：．
2..已知点为半径等于2的球球面上一点，过的中点作垂直于的平面截球的截面圆为圆，圆的内接中，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】##
【分析】由题设可得截面圆直径，令且，结合射影定理及棱锥的体积公式可得，利用导数求其最大值即可.
【详解】由题意知：，，故，
令，则，且，由，则，
而，令，则，
当时，递增；当时，递减；
所以时取最大值，故三棱锥体积的最大值为.故答案为：
3.如图，在直三棱柱中，，点在棱上运动，则过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值为___________.

【答案】
【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．
【详解】取中点为，连接，交于，连接，，，，，△，，
，，，
因为三棱柱是直三棱柱，故平面,平面，
故平面平面，且平面平面,
因为,是中点，故平面,平面，
平面,，平面,平面，
平面平面，点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，
此时面积为．故答案为：．




1．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
【详解】根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：C.
2．如图，正方体的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是

A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
【答案】D
【详解】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D．
3．用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】截面半径，所以，所以体积，故选D．
4．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．π B．π C．4π D．π
【答案】B
【详解】球半径，所以球的体积为，选B.
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
6．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体中，
平面与线所成的角是相等的，
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为，
所以其面积为，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.
7．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由圆M的面积为，得,于是球心O到圆M的距离为，因为与成二面角，,所以OM与MN成角,所以,所以,所以圆N的面积为
8．设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则：
∴ ∴这三个圆的面积之比为： 故选D
【点评】此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；
【突破】画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；

9．设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于,则球O的表面积等于__________
【答案】8
【详解】试题分析：设球半径为R，圆C的半径为r，
由 ，得．
因为．
由,得
故球的表面积等于8π
考点：球的体积和表面积
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及球的面积体积公式的应用，是基础题.




1..用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体不可能是（    ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体
【答案】A
【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.
【详解】用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等，不可能出现矩形，
用一个平面去截圆柱，三棱柱，长方体，截面的形状都有可能是矩形，
故选：A.
2.如图，在底面边长为8cm，高为6cm的正三棱柱中，若D为棱的中点，则过BC和D的截面面积等于_________cm2.

【答案】
【分析】过点作，交于点 ，连接，四边形BCED即为过BC和点D的截面，求出四边形BCED的面积即可.
【详解】过点作，交于点，连接，,则，即四点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，
因为D为棱的中点，所以DE是的中位线，所以 ，
又因为，所以DE//BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作 于点F，则所以截面 BCED的面积为

故答案为：

3.棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
【答案】
【分析】如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接，可证过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形，故可求截面的周长.
【详解】
如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接，
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
而，，故，，
故四边形为平行四边形，故
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
故四边形为平行四边形，故
故，故四边形为平行四边形，
故四点共面，故过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形.
又，故截面的周长为，
故答案为：.
4.如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.
【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点，
如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ，

设正方体的棱长为，
因为点，，分别是，的中点。所以，即，
因为，所以
则过点，，的截面下方体积为：，
∴另一部分体积为，∴.故选：C.
5.已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为___________.
【答案】
【分析】设为底面正三角形的中心，连接，则由题设条件可得，从而可求边长，故可求体积.
【详解】
设为底面正三角形的中心，连接，则平面，
且正四面体的外接球的球心在线段上，设正四面体的棱长为，
当过的平面与直线垂直时，该平面与球的截面的面积最小，
此时面积为，
因为过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，故，
所以.
因为为的中点，故，，而，
故平面，而平面，故，
故，
所以，故，而，
故，所以体积为，
故答案为：.
6.．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积
【详解】
根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与包含上三角形的三边的平面的切点恰好在此三线段的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是 ×tan30°= ，
则所求的截面圆的面积是π×× =．
故选：D．
7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
【分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则，，圆锥的高，
设轴截面中两母线夹角为，则，，
所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为.故答案为：
8.在三棱锥中，，，过点作平面与，分别交于，两点，若与平面所成的角为30°，则截面面积的最小值是_________.
【答案】
【分析】过作，垂足为，连接，证得平面，得到，得出为与平面所成的角为，要使截面面积最小，只需最小，结合基本不等式求得，即可求解截面的面积.
【详解】过作，垂足为，连接，因为，，，所以平面，
又由平面，所以，又因为，且，所以平面，则，
所以为与平面所成的角，且，因为，所以为定值，
要使截面面积最小，则最小，因为，即，
当且仅当时等号成立所以，所以截面面积最小值.
故答案为：.
9.如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.

【答案】
【分析】由线面平行的性质可得、且、，易得为平行四边形，结合有为矩形，进而设，由已知求、关于的表达式，即可得面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可.
【详解】由题设，面，又面，面面，
所以，同理可证，故，
又面，又面，面面，
所以，同理可证，故，
故为平行四边形，又，即，则为矩形，
若，则，又，
所以，，又面积为，
所以，故当时.故答案为：.
10.已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________.
【答案】
【分析】
结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面，运用勾股定理，计算可得所求值.
【详解】
如图，

取的中点，连接，取的中点，连接，
取的中点，连接，连接，
分别取，的中点，，连接，，，
可得，，，即有，
又，可得，
平面，可得，所以平面，
可得平面，
由面面垂直的判定定理，可得平面平面，
则平面即为平面，
由，，，，，
可得所得截面周长为.
故答案为：.