专题6-2 数列求和15种类型归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

这是一份专题6-2 数列求和15种类型归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版），共17页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练11等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 求和思维基础：sn和an的关系1
\l "_Tc26924" 【题型二】 错位相消法求和的三种思维方法2
\l "_Tc12217" 【题型三】 分组求和3
\l "_Tc30563" 【题型四】 求和难点1：裂项相消基础思维3
\l "_Tc30563" 【题型五】 求和难点2：形如函数型裂项相消4
\l "_Tc30563" 【题型六】 求和难点3：指数型裂项相消求和5
\l "_Tc30563" 【题型七】 求和难点4：指数等差型裂项相消求和6
\l "_Tc30563" 【题型八】 求和难点5：奇偶正负型裂项相消求和6
\l "_Tc30563" 【题型九】 求和难点6：裂项为“和”型以相消求和7
\l "_Tc30563" 【题型十】 求和难点7：指数型裂项为“和”以相消求和8
\l "_Tc30563" 【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项相消8
\l "_Tc30563" 【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消求和9
\l "_Tc30563" 【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项求和9
\l "_Tc30563" 【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）10
\l "_Tc30563" 【题型十五】求和难点12：分段数列求和10
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练11
【题型一】 求和思维基础：由sn求an的关系
【典例分析】
已知数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Tn．
【提分秘籍】
基本规律
对于公式
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
（2）当时， 求出；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【变式演练】
1.数列的前n项和为（），求
2.已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【题型二】 错位相消法三种思维求法
【典例分析】
（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【提分秘籍】
基本规律
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。
1.思维结构结构图示如下

2.公式型记忆：
3.可可裂项为如下
【变式演练】
1.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【题型三】 分组求和法
【典例分析】
已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
，其中bn和cn都是容易求和的数列
【变式演练】
1.设数列满足，；
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
2.已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.

【题型四】 求和难点1：裂项相消基础思维
【典例分析】
设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.数列中，，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
2.在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．
3.已知 是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列 的前 项和.
【题型五】 求和难点2：形如函数型裂项相消
【典例分析】
等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和为，证明.
【变式演练】
1.数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和为.
2、已知各项均为正数的数列前项和为，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【题型六】 求和难点3：指数型裂项相消
【典例分析】
设数列的前n项和为，已知，，.（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
【提分秘籍】
基本规律
形如
【变式演练】
1.已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.
2、已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【题型七】 求和难点4：指数等差型裂项相消
【典例分析】
已知数列的前项和为，且，数列满足：，且．（1）求证：数列是等比数列；
【提分秘籍】
基本规律
形如，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
【变式演练】
1.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.
3、设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，．
（ⅰ）求；（ⅱ）证明．
【题型八】 求和难点5：奇偶正负型裂项相消
【典例分析】
已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.
【提分秘籍】
基本规律
形如，可类比前边规律裂项相消
【变式演练】
1.设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
2、已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【题型九】 求和难点6：裂项为“和”型以相消
【典例分析】
已知数列中，，，前项和为，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
可通过分离常数，或者公式，裂项为“和”，借助系数的正负相间，达到裂项相消的目的
【变式演练】
1.已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
2、已知递增的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
【题型十】 求和难点7：指数型裂项为“和”以相消
【典例分析】
已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
授课时，注意讲清楚裂项凑配的原理。如果学生接受难度大，可以逆向思维：反解代入
【变式演练】
1.已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项
【典例分析】
已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【变式演练】
1.如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.
2、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
【题型十二】 求和难点9：三项积式裂项相消
【典例分析】
已知数列满足，，.
（1）若.①求数列的通项公式；
②证明：对， .
【提分秘籍】
基本规律
属于比较难的题型，做复习参考。一般情况下，可如下公式裂项：
【题型十三】 求和难点10：先放缩后裂项
【典例分析】
已知数列的前n项和为，，且对任意正整数n，都有，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：．
【变式演练】
1.已知数列的前n项和为，，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
2、数列中，，，且.
令，将用表示，并求通项公式；
令，求证：.
【题型十四】 求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）
【典例分析】
已知为数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【题型十五】 求和难点12：分段数列求和
【典例分析】
已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【变式演练】
1.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
2.设是等差数列，是等比数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和为，求.
1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

2.已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
3.正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .

4.已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.

5.已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．

6.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=(−1)n−14nanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

7.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．

8.已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.

9.已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设，是等比数列的前n项和，求：．
10.已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．