2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第七章 不等式、推理与证明 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第七章 不等式、推理与证明 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，共20页。试卷主要包含了线性规划的有关概念等内容，欢迎下载使用。

第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.


1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
3.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.
2.不等式组表示的平面区域是(　　)

答案　B
解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.
3.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A.(0，0) B.(－1，1)
C.(－1，3) D.(2，－3)
答案　C
解析　把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
4.已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)
A.3，－3 B.2，－4
C.4，－2 D.4，－4
答案　C
解析　不等式组所表示的平面区域如图所示.

其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，
画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，平移l0过点A时， zmin＝－2.
5.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
答案　
解析　用表格列出各数据.


A
B
总数
产品吨数
x
y

资金
200x
300y
1 400
场地
200 x
100y
900
所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900.
即x≥0，y≥0，2x＋3y≤14，2x＋y≤9，
6.(易错题)已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________.
答案　－1
解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.


考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A.(－24，7)
B.(－7，24)
C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案　B
解析　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7 2.若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A. B.(0，1]
C. D.(0，1]∪
答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0
3.不等式组所表示的平面区域的面积为________.
答案　
解析　画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A，B(1，0)和C(2，0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S△ABC＝×(2－1)×＝.
感悟提升　平面区域的形状问题主要有两种题型：
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.
考点二　求目标函数的最值
角度1　求线性目标函数的最值
例1 (2021·浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)
A.－2 B.－ C.－ D.
答案　B
解析　作出可行域如图中阴影部分所示.

由z＝x－y，得y＝2x－2z.作出直线y＝2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值.
由得
所以A(－1，1)，zmin＝－1－＝－.
角度2　求非线性目标函数的最值
例2 (1)已知实数x，y满足则z＝的取值范围是________.
(2)(2022·绵阳诊断)已知实数x，y满足则z＝x2＋y2－2x＋2y＋3的最小值为________.
答案　(1)　(2)3
解析　(1)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1，2)，C，D(2，3)，的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2，0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z＝的取值范围是.

(2)不等式组对应的平面区域为图中阴影部分.

由z＝x2＋y2－2x＋2y＋3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1，知z表示可行域内的点到定点(1，－1)的距离的平方加1，结合图形得到zmin＝＋1＝3.
角度3　求参数值或取值范围
例3 已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则实数m的值为________.
答案　5
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示.作出直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时，z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最小值.

由
得即A，
所以3×＋＝10，
解得m＝5.
感悟提升　线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝；③斜率型：形如z＝.
(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.
训练1 (1)(2022·成都调研)已知x，y满足约束条件且不等式x＋y－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，3) B.
C.(－∞，3] D.(－∞，1]
(2)(2022·南昌模拟)已知变量x，y满足则k＝的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(－∞，－5]∪
解析　(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，

设目标函数z＝x＋y，化为直线y＝－x＋z，
当直线y＝－x＋z过点A时，此时在y轴上的截距最小，此时目标函数z取得最小值，
又由解得A，
可得z＝x＋y的最小值为zmin＝1＋＝，
又由不等式x＋y－a≥0恒成立，即不等式a≤x＋y恒成立，所以a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)由题意作出可行域如图阴影部分所示，

由于k＝＝表示动点M(x，y)与定点B(3，－1)连线的斜率，
由可得点A(2，4)，
则kAB＝＝－5，且直线x－2y＋4＝0的斜率为，
数形结合可得，k＞或k≤－5.
　考点三　实际生活中的线性规划问题
例4 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

甲
乙
连续剧播放时长/分钟
70
60
广告播放时长/分钟
5
5
收视人次/万
60
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解　(1)由已知，x，y满足
即
该不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整点：

(2)设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6，3).所以电视台每周播出甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
感悟提升　1.解线性规划应用题的步骤.
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题.
训练2 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)
A.31 200元 B.36 000元
C.36 800元 D.38 400元
答案　C
解析　设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，
则线性约束条件为
目标函数为z＝1 600x＋2 400y.
画出可行域如图中阴影部分所示，

可知目标函数过点N时，取得最小值，
由解得
故N(5，12)，
故zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元).


1.设M为不等式组所表示的平面区域，则位于M内的点是(　　)
A.(0，2) B.(－2，0)
C.(0，－2) D.(2，0)
答案　C
解析　不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，只有点(0，－2)满足题意.

2.(2020·浙江卷)若实数x，y满足约束条件 则z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A.(－∞，4] B.[4，＋∞)
C.[5，＋∞) D.(－∞，＋∞)
答案　B
解析　画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线经过点A(2，1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞).

3.设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有(　　)
A.12个 B.11个 C.10个 D.9个
答案　A
解析　画出所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12个，故选A.
4.设变量x，y满足约束条件约束条件表示的平面区域为M，则平面区域M表示的几何图形的周长为(　　)
A.6 B.3＋
C.2 D.9
答案　B
解析　画出变量x，y满足约束条件的平面区域，如图所示：

不等式组表示的区域为△ABC，A(1，1)，B(3，3)，C(2，0).
点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是＋2＋＝3＋.
5.(2022·哈师大附中模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝2－2x＋y的最大值为(　　)
A. B. C. D.2
答案　C
解析　由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，则z＝2－2x＋y的最大值就是u＝－2x＋y的最大值时取得.

联立解得A(1，1)，
化目标函数u＝－2x＋y为y＝2x＋u，
由图可知，当直线y＝2x＋u过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值2－2＋1＝.
6.若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)
A.－7 B.1 C.5 D.7
答案　C
解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得
作出可行域如图阴影部分所示.

设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.
作直线l0：y＝－3x，并进行平移.
显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.
7.(2022·南充诊断)已知实数x，y满足若z＝x＋my(m＞0)的最大值为10，则m＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　在平面直角坐标系中，作出可行域，如图中阴影部分所示，由解得A(2，4)，z＝x＋my(m＞0)可化为y＝－x＋，由图可知，当直线y＝－x＋过点A时，直线在y轴上的截距最大，z取得最大值10，即2＋4m＝10，解得m＝2，故选B.

8.(2021·全国大联考)设不等式组 表示的平面区域为M，则(　　)
A.M的面积为
B.M内的点到x轴的距离有最大值
C.点A(x，y)在M内时，<2
D.若点P(x0，y0)∈M，则x0＋y0≠2
答案　C
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A、B错误；
由图可知点(1，1)在可行域内，而此时x＋y＝1＋1＝2，故选项D错误；

表示区域M内的点(x，y)与N(－2，0)连线的斜率，由图知＝kNB＝，∴∈，故选项C正确，故选C.
9.(2021·晋中模拟)设x，y满足则x－y的最小值是______，最大值是______.
答案　－　
解析　如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设z＝x－y，当y＝x－z经过点A时，z＝x－y取得最小值－；当y＝x－z经过点B时，z＝x－y取得最大值.

10.(2021·平顶山模拟)已知O为坐标原点，A(－1，－2)，P为平面区域M：内任意一点，则·的最小值为________.
答案　－2
解析　由题意可得，平面区域M(如图)是由点O(0，0)，D(0，1)，B(1，0)，C围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得·＝－x－2y，设z＝－x－2y，当直线z＝－x－2y平移到与DC重合时，目标函数z＝－x－2y有最小值(此时点P为线段DC上任意一点)，且最小值为－2.故·的最小值为－2.

11.(2022·昆明诊断)已知x，y满足则z＝3x＋2y的最大值为________.
答案　19
解析　根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z＝3x＋2y在点M处取得最大值，

由得M，但M点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5，2)满足要求，且代入得z＝19，故最大值为19.
12.在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，则5a1＋a5的最大值为________，取到最大值时d＝________，a1＝________.
答案　200　20　20
解析　由题意得点(a1，d)满足
画出可行域，

设z＝5a1＋a5＝6a1＋4d，
即d＝－a1＋，
当直线d＝－a1＋经过B点时，在y轴上的截距最大，z取得最大值，
即a1＝d＝20时，5a1＋a5取最大值200.

13.若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　B
解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.
由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.

14.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)
A.320千元 B.360千元
C.400千元 D.440千元
答案　B
解析　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，
则z＝2x＋y，
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元.

15.(2022·西安模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________.
答案　
解析　由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得
或
不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示.

x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，
因为原点到x＋y－2＝0的距离为d＝＝，
原点到x－2y＋3＝0的距离为
d＝＝＝<，
所以，x2＋y2的最小值为＝.
16.已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为________.
答案　5
解析　如图，作出不等式组对应的平面区域，

由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由得A(3，3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5，0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5，0)到直线x＋2y＝0的距离的平方.
则(x＋5)2＋y2的最小值为＝5.