2023年甘肃省天水市武山县四校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年甘肃省天水市武山县四校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，当时，；当时，，那么当时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从海南省可再生能源协会年会上获悉，截至月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约千瓦时数据可用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一元二次方程的解为(    )

A.  B.  C. 或 D.  且

4.  若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是(    )

A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 以上说法均不正确

5.  阳泉市郊区教科局提出开展“三有课堂”，某中学在一节体现“三有课堂”公开展示课上，李老师展示一幅图，条件是：为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：与互余与互补与互补，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡(    )

A. 左盘上加克砝码 B. 右盘上加克砝码 C. 左盘上加克砝码 D. 右盘上加克砝码

7.  用配方法解一元二次方程，此方程可化为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在等腰中，，则等腰的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  如图，在菱形中，，，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，一次函数与反比例函数的图象相交于和，则不等式的解集是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

11.  下列命题中，错误的是(    )

A. 过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形
B. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

12.  若，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  陆上最高处是珠穆朗玛峰，峰顶高于海平面约米，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，死海的水面低于海平面米，两处高度相差(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

14.  如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  已知，二次函数的图象与轴交于点、两点，则当时，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

16.  如图，在边长为的正方形中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点，分别在边，上，则放入的四个小正方形的面积之和为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17.  单项式的次数是______ ．

18.  若与是同类项，则 ______ ， ______ ．

19.  阅读材料：如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作例如，则根据材料填空： ______ ．

20.  如图，在中，，，，为上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，为的中点，则线段长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
化简：
；
先化简，再求值，其中，．

22.  本小题分
如图，四边形，点是边延长线上一点，点是边延长线上一点，连接，分别交和于点和点已知，．
求证：，并写出每一步的依据．

23.  本小题分
如图，直线和相交于点，，，：：，求的度数．

24.  本小题分
如图，已知：平分，点是反向延长线上的一点，，，，求和的度数．
 

25.  本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于，两点，是的中点，是上一点，四边形是菱形，
求、两点的坐标；
求证：为等边三角形；
请直接写出同时经过、两点的直线的函数表达式．

26.  本小题分
如图，在长方形中，，，点是边上与点不重合的动点，过点的直线交的延长线于点，交于点点与点不重合，且设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

27.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．
点的坐标为______，点的坐标为______；
直接写出点的坐标______，并求出直线的函数关系式；
若点是图中直线上的一点，连接，得到图当点在第二象限，且到轴，轴的距离相等时，直接写出的面积；
若点是图中坐标平面内不同于点、点的一点，当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标．

 

28.  本小题分
如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
写出四边形的形状，并证明；
若四边形的面积为，，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
，
当时，，
故选：．
把与的值代入中计算，求出与的值，确定出与关系式，再将的值代入计算即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的表示形式为，，为整数，确认值，即可做出判断．
本题主要考查科学记数法的表示形式，掌握科学记数法的表示形式是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
或，
解得：或，
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状．
故选D．
根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
本题考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，平分，平分，
，，，
，，
，，
，，故正确，
，，
，
，
与不互补，故错误，
，故正确．
故选：．
根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：饼干糖果，
饼干糖果，
饼干糖果砝码，
把饼干糖果代入，得
糖果糖果砝码，
糖果砝码，
饼干糖果砝码，
因为砝码砝码砝码，
所以糖果砝码饼干，
故选：．
根据第一个等式，可得饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得糖果的质量，饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．
本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出饼干和糖果的质量，再根据等式的性质，可得答案．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】
解：，
，即，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
根据等腰三角形的两腰相等，然后利用三角形的三边关系判断．
【解答】

解：是底时，，
此时三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长为；
是底时，，
此时三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长为；
综上所述，周长为或．
故选D．
 

9.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，
，，
，
，
，
，
故选：．
利用菱形的对角线互相平分且垂直，即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，利用面积法求菱形的高是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在反比例函数的图象上，
，
即反比例函数的解析式为；
在的图象上，
，
即；
观察图象知，不等式的解集是或．
故选：．
由点的坐标可确定反比例函数的解析式，则可求得点的坐标，由图象即可确定不等式的解集．
本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了函数图象上点的坐标特征，借助图象求不等式的解集，注意数形结合．
 

11.【答案】 

【解析】解：、过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，正确，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；
C、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，正确，不符合题意；
D、等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线及底边的高互相重合，故原命题错误，符合题意；
故选：．
利用多边形的性质、直角三角形全等的判定、三角形的中线的性质及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的性质、直角三角形全等的判定、三角形的中线的性质及等腰三角形的性质，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
时，的值最小，最小值为，
故选：．
把问题转化为一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查不等式的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：若海平面以上记为正，则海平面以下记为负，
珠穆朗玛峰峰顶高约米，死海的水面高为米，
两处高度相差米，
故选：．
用珠穆朗玛峰的峰顶高度减去死海最低高度，再根据有理数减法法则进行计算即可．
此题考查有理数的减法计算法则，正确理解题意是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
以为边作等边，连接，过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，通过分析知的最小值为，然后由直角三角形的性质可得出答案．
解：如图，以为边作等边，连接，过点作于点，

和为等边三角形，
，，，
．
在和中，

≌，
，．
直线，
，
．
由等边知
．
是直线的动点，
在直线上运动，
的最小值为．
，，，
．
故选：．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
因为二次函数的图象与轴交于点、两点，所以，当时，，由此即可解决问题．
【解答】
解：二次函数的图象与轴交于点、两点，
，
当时，，
故选：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，

则
，
，
∽，
，
，，
设，
则，
，
，
，
解得：，
，
，
，
四个小正方形的面积之和．
故选：．
作，证明∽，根据相似三角形的性质得到，，根据正方形的性质列方程求出，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、勾股定理、正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：单项式的次数是，
故答案为：．
单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数，根据此定义进行解答即可．
此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式中次数的定义．
 

18.【答案】； 

【解析】解：与是同类项，
，，
解得：，．
故答案为：；．
利用同类项的定义求出与的值即可．
此题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为．
根据乘方运算得到，然后利用新定义求解．
本题考查了有理数的乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了阅读理解能力．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接，，交于，
，为中点，
，
为等边三角形，
，，
，，
是的中垂线线段中垂线性质定理逆定理，
，
，
，
点在过点，与所交角的直线上运动，
过点作于点，则为所求，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．

首先连接，，根据线段中垂线性质定理逆定理得出为线段的中垂线，然后得出，而后证明即为定值，得出的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出的最小值．
本题考查含度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出的最小值是解本题的关键．
 

21.【答案】解：

；


，
把，代入得：
原式

． 

【解析】先去括号，然后合并同类项，即可得出答案；
先去括号，然后合并同类项，化简出最简结果，然后再代入数据进行计算即可．
本题主要考查了整式加减运算及其化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算是关键．
 

22.【答案】证明：已知
两直线平行，同旁内角互补
又．
等量代换．
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，内错角相等． 

【解析】欲证明，只需推知即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

23.【答案】解：，
，
，，
，
：：，
，
，
，
．
． 

【解析】根据，得出，根据，可得，根据角的倍分关系，可得的度数，根据与是邻补角，可得答案．
本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
 

24.【答案】解：平分，，
．
，
．
．
，
．
在中，． 

【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”、“直角三角形的两个锐角互余”是解决本题的关键．
先利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，再利用外角和内角的关系求出，最后利用三角形的内角和定理求出．
 

25.【答案】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
是的中点，
点的坐标为；
在中，，
．
是的中点，
．
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
延长交于，如图所示．
为等边三角形，
，
，
，
，
点的坐标为，
所以直线的解析式为：，
可得：，
解得：，
所以直线的解析式为：． 

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，进而解答即可；
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，在中，由，的长可得出，由是的中点结合菱形的性质进而解答即可．
得出，的坐标进而利用待定系数法解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、等边三角形的判定，解题的关键是利用菱形的性质及等边三角形的判定解答，
 

26.【答案】解：如图，过点作，交于点，
，
，
则，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，

，


，
 
 
． 

【解析】由梯形面积公式，设，，需求得，又，，，由此得出与之间的函数关系；对于自变量的取值范围，求临界条件与重合时，，又与不重合，故．
本题考查了动点变化时，面积随动点的函数关系以及自变量取值范围的判定．
 

27.【答案】     

【解析】解：把代入中，得，
点的坐标为，
把代入，得，解得，
点的坐标为，
故答案为：，；
如图中，过点作轴于，

，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
直线的解析式为；
如图中，

点在直线上，且点的纵坐标为，
把代入，得，
过点作轴于点，
，
；
如图中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示，

当点与点关于轴对称时，以点，，为顶点的三角形与全等，
，
当≌时，
，，
；
同理可求，
，，；
B.如图中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示，

当是平行四边形时，
点，
当≌，
，，
垂直平分，
，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
，
过作于，作于，
，，，
，
≌，
，，
，
同理可求，
，，；
综上所述：或或或或或．
利用待定系数法即可解决问题．
过点作轴于，由≌，推出点的坐标为，再利用待定系数法即可解决问题．
点在直线上，且点的纵坐标为，把代入，得，过点作轴于点，推出，根据计算即可．
如图中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示．
B.如图中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示．
本题考查一次函数综合题，待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

28.【答案】解：四边形是菱形，
理由如下：是的中点，
，

，且，
≌
，
点是的中点

，且
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
平行四边形是菱形
四边形的面积为，

是的中点


，
 

【解析】由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可得，由菱形的判定是可证是菱形．
由题意可得，可得的长，由勾股定理可求的长．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．