2023年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 合 B. 同 C. 心 D. 人

4.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，在中，弦、相交于点若，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是(    )

A. 北偏东
B. 北偏东
C. 南偏西
D. 南偏西

7.  在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在菱形中，，，为的中点，则对角线上的动点到、两点的距离之和的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
 

A.
B.
C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D. 关于的方程的所有实数根的和为

10.  如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在平面直角坐标系中，已知和点关于原点对称，则 ______ ．

12.  年月日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超亿．亿用科学记数法表示为______．

13.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

14.  如图，在中，点、在上，点、分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为______．

15.  如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为，则的值等于______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
已知，求代数式的值．

17.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生每周参与“航空航天知识”学习的累计时间单位：小时，学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示，如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
全校共有学生人，试估计学校每周参与“航空航天知识”学习累计时间不少于小时的学生人数；
某小组有名同学，、等级各人，从中任选人向老师汇报学习情况，请用画树状图法或列表法求这人均属等级的概率．

18.  本小题分

年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，

19.  本小题分
近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

20.  本小题分
如图，在中，，为斜边上一点，以为圆心、为半径的圆恰好与相切于点，与的另一个交点为，连接．
请找出图中与相似的三角形，并说明理由；
若，，试求图中阴影部分的面积；
小明在解题过程中思考这样一个问题：图中的的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在图中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心，并写出你的作图方法．

 

21.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．
【尝试应用】
如图，在的条件下，连结，若，，，求的值．
【拓展提高】
如图，在▱中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，，求的长．

 

22.  本小题分
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
求抛物线的表达式；
是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：中位数为第个和第个的平均数，众数为．
故选：．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，
，，
，
，
，
，
，
小岛相对于小岛的方向是北偏东，
故选：．
根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．
本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了轴对称---最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．根据菱形的性质，得知、关于对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知为的最小值．
【解答】
解：
四边形为菱形，
、关于对称，
连交于，
则，
根据两点之间线段最短，的长即为的最小值．
，
，
为等边三角形，
又，
，
．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
由是函数图象和轴的交点，解得：可判断、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】
解：是函数图象和轴的交点，
，解得：，
，
故A、B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有条直线，

故C错误；
关于的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
点的坐标为，
第次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，
第次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为，
第次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，
第次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为，
第次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，

第次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，
故选：．
根据正六边形的性质以及勾股定理求出，，进而确定点的坐标，再根据旋转分别得出旋转次、次、次、次所对应点的坐标，由规律可得答案．
本题考查正多边形，旋转以及勾股定理，掌握正六边形的性质，勾股定理以及旋转的规律性是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：、两点关于原点对称，
横、纵坐标均互为相反数，
，
解得．
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程概念和根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：设交于点，
矩形的边在上，
，，
∽，
于点，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
解得，
的长为，
故答案为：．
设交于点，由矩形的边在上证明，，则∽，得，其中，，，可以列出方程，解方程求出的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，，设，

四边形为菱形，
，，
，
，
同理，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
代入点得：，
故答案为：．
易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题．
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；
，
，






． 

【解析】先算绝对值，平方差，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再算乘方，乘法，最后算加减；
由已知条件可得，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

17.【答案】解：参与问卷调查的学生人数人，
等级人数为人，
补全图形如下：

人，
答：估计学校每周参与“航空航天知识”学习累计时间不少于小时的学生有人；
随机选出人向老师汇报学习情况的表格如下：

共有种等可能结果，而选出人中人均属等级有种，
所求概率为． 

【解析】利用抽查的学生总数等级的人数对应的百分比计算，再求等级的人数即可补全图形；
用全校的学生人数乘以每周参与“航空航天知识”学习累计时间的学生所占的百分比，即可求解；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 

19.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

20.【答案】解：与相似，如图所示，

连接，恰好与相切于点，
，
又，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
∽．
∽，
，
，
，根据勾股定理得，
，
，
，
，
．
如图所示，作图方法：
以为圆心，长为半径画弧，交于点，以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接，即为的角平分线，与的交点即为点．
以为圆心，长为半径画弧，交于点，以、为圆心，大于为半径画弧，分别交于点、，连接，即为的垂直平分线，与的交点即为点．
 

【解析】为圆的切线，连接，可推出，由，可推出∽．
根据∽，可得出的长度，再根据的三边比例关系，可推出，再利用扇形面积减三角形的面积即可得到阴影部分面积．
作的角平分线交边于点，过点作的垂线交于点注：方法不唯一
此题考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径，以及相似三角形的性质及判定，发现相似三角形为解题关键．
 

21.【答案】证明：，
∽，∽，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
∽，
；
解：延长交于，连接，过点作于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，∽，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；
根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案；
延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：对于，当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
对称轴是直线：，
有：，解得：，
抛物线的表达式为：；
对于，当时，，解得：，，
点的坐标为，
又点，点，
，，
作轴于，

点在第二象限内的抛物线上，且横坐标为
点的坐标为，则，
，，
，
轴，则四边形为直角梯形，
，
又，，
，
即，
又，
，
当时，为最大，
此时
点的坐标为．
存在点和点，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
点在抛物线的对称轴上，
可设点的坐标为：，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，与互相垂直平分，
设直线与轴交于点，过点作轴，与交于点，

点，，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
点的坐标为，
设点的坐标为，
点为的中点，
，，
设点的坐标为，
点为的中点，
，，
解得：，，
点的坐标为． 

【解析】首先求出点，点，然后利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
先求出点，再作轴于，连接，依题意设点的坐标为，则，则，，，分别求出，，，然后根据列出与的函数关系式，根据有最大值求出，进而可得点的坐标；
设点，直线与轴交于点，过点作轴，与交于点，先由勾股定理求出，，再根据可求出，进而可得点的坐标，然后根据点为的中点求出的坐标，进而根据为的中点可求出点的坐标．
此题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，对称轴，菱形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，以及求二次函数最值、对称轴的方法，理解菱形的四条边都相等，对角线互相平分．