2023年山东省日照市中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省日照市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠元，结果比原计划多买了包口罩．设原计划购买口罩包，则依题意列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

8.  如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  将全体正奇数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行第个数是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：
；
；
；
当时，；
一元二次方程．
有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  的平方根是______ ．

14.  如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端出发，先沿水平方向向右行走米到达点，再经过一段坡度或坡比为：、坡长为米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向右行走米到达点均在同一平面内，在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度约为______米．参考数据：，，

 

15.  如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接，若将沿翻折，点落在点处，连接，则的长为______ ．

16.  如图，在中，，以为直角边作，且，连接，则的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，并从，，，四个数中，选一个合适的数代入求值；
解不等式组：，并判断这两个数是否为该不等式组的解．

18.  本小题分
某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩成绩分为等，等，等，等为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题：

将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整；
该校共有名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和；
该校按照竞赛成绩找出名同学组成两队每队两人参加市知识竞赛，名同学中有位男生和位女生若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率．

19.  本小题分
青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年至月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为元千克的蛤蜊经过两次降价后变为元千克，并且两次降价的百分率相同．
求蛤蜊每次降价的百分率．
从第一次降价的第天算起，第天蛤蜊为整数的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：

已知蛤蜊的进价为元千克，设销售蛤蜊第天的利润为元；
求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？
问这天中，有多少天的销售利润不低于元？请说明理由．

20.  本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求的长；
在的基础上，求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
【课本再现】
如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是______ 填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．

 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．
求该抛物线的解析式；
如图，在轴上有一动点，平面内是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，点为抛物线上的一动点：
若点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；
若点为抛物线上的任意一动点，且，请直接写出满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、平方根的概念判断即可．
本题考查的是合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、平方根的概念，掌握相关的概念和运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C.选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答．
本题主要考查了轴对称图形的概念，解决轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，
直角三角板的直角顶点在直线上，，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：设原计划购买口罩包，则实际购买口罩包，
依题意得：．
故选：．
设原计划购买口罩包，则实际购买口罩包，利用单价总价数量，结合药店对学生购买口罩每包优惠元，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
整理得，
，
方程无实数根．
故选：．
利用题目中的规定得到，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
故选：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作一条线段等于己知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：是不等式的解，
，
解得：，
不是这个不等式的解，
，
解得：，
，
故选：．
根据是不等式的解，不是不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式组的解集．
 

10.【答案】 

【解析】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，

∽，
：：：：，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：．
根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题得，每行个数与行数相等，
故第行有个数，
且都为奇数，
由数列，，，，．
得每行最大数与行数的关系为：，
故第行最大数为：，
第行第个数是，
故选：．
分析出每行个数与行数关系，再分析出每行最大数与行数的关系，代入计算即可．
本题考查了数字规律的探究，数列规律的探究是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为抛物线的对称轴为，
即，所以，
所以错误；
当时，，
所以，因为，
所以，
所以正确；
抛物线顶点坐标为，
抛物线与直线有唯一一个交点，
即方程有两个相等的实数根，
，
，
所以正确；
因为，即，
根据图象可知：
把抛物线图象向下平移个单位后图象过原点，
即可得抛物线的图象，
所以当时，，
即．
所以正确；
一元二次方程，
，
因为根据图象可知：，，
所以，
所以，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
所以正确．
故选：．
根据抛物线的对称轴公式即可求解；
当等于时，等于，再利用对称轴公式即可求解；
根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到；
根据抛物线的平移即可求解；
根据一元二次方程的判别式即可求解．
本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．作交的延长线于，于首先解直角三角形，求出，，再根据，构建方程即可解决问题．
【解答】
解：作交的延长线于，于．

在中，
，
设，，
又，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
米，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，、
四边形是矩形，
，，
是边的中点，
，
，
由折叠得，，
，
，，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，由四边形是矩形，得，，而是边的中点，则，所以，由折叠得，，，可证明，由得，则，得，再根据勾股定理求出的长即可．
此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，证明是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，作，且使，连接，，

以为直角边作，且，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
，，，
，
，
当点，，三点共线时，即时，取得最大值，
，
的最大值为．
故答案为：．
作，且使，连接，，首先根据题证明出∽，然后得到，利用勾股定理得到，然后根据得到当点，，三点共线时，即时，取得最大值，即可求解．
此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

17.【答案】解：




；
，，，
把代入得：原式；

，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
，，
是该不等式组的解，不是该不等式组的解． 

【解析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可；
先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了分式化简求值，解不等式组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确求出每个不等式的解集．
 

18.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
“等”的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

人，
答：估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为人；
画树状图如下：

共有种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有种，
性别相同的同学在同一组的概率为． 

【解析】由成绩“等”的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由该校共有参赛学生乘以测试成绩为“等”和“等”的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设蛤蜊每次降价的百分率为，
依题意得，，
解得：，舍．
蛤蜊每次降价的百分率为；
结合得：第一次降价后的价格为元，
当时，．
，
随着的增大而减小，
当元时，利润最大为元；
当，，
，
当时，利润最大为元．
，
第天利润最大，最大利润为元．
综上可知，
；
第天利润最大，最大利润为元；
当时，，
解得：，
此时为天利润不低于元；
当时，，
根据图象法可解得：，
，
此时第天的利用不低于元，
天，
综上可知，共有天利润不低于元． 

【解析】设水蜜桃每次降价的百分率为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出 的值即得出答案；
根据利润标价进价销量储存和损耗费，即可得元，进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；
依题意可列出关于的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出的解集，即可得出答案．
本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接，
平分，
，
，

，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：连接，过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；

解：，
，
，
，
，
． 

【解析】如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到；
先解直角三角形得到，求出，再根据进行求解即可．
本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图中，连接．

四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，故正确，
，故正确，
，故正确，
，
，
，，
，
，故正确，
故答案为：；
猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，

点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
设．
当点在线段上时，

，

在中，，
，
又由易知，

，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．

，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
证明≌，可得结论；
猜想：，连接，≌，再利用勾股定理证明即可；
设分两种情形：当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，就提到过房间数正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】抛物线与轴交于和，
，
解得，
该抛物线的解析式．
答：该抛物线的解析式．
存在，理由如下：
以点、、、为顶点的四边形是菱形，
如图，当为对角线时，点和点关于原点对称，

点，
点；
如图，当，点在点右侧时，

点，，
点；
如图，当，点在点左侧时，

点，，
点；
当为对角线时，如图所示：

设，则，
，
，
，
点．
综上，点的坐标为：，，，．
设，
点在直线：上，
，
，
，，
∽，
，，
，
，，
，
故当时，．
如图，情况一：在上取点，连接，延长后交抛物线于点，此时点就是所求的点，理由如下：

，，
，
，
设直线为，过点和，
，
解得，
直线为，
直线与抛物线联立方程组，
解得或，
故；
情况二：作点关于的对称点，连接，延长后交抛物线于点，此时点就是所求的点，理由如下：
点关于的对称点，
，
设直线为，
，直线为，
，
直线过点，
直线，为，
联立，
解得，
点，
点，
设直线为，
直线过点，，
，
解得，
直线为，
直线与抛物线联立方程组，
解得或，
故，
综上，点的坐标为，． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
分种情况即可求解，注意菱形性质的应用；
用含有一个参数的式子表示周长，再用二次函数的最值求法即可求解；
作辅助线，用待定系数法和两函数图象交点坐标的求法即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，函数图象交点的求法，菱形的性质等，关键是熟练应用数形结合思想．