2023年山东省日照市东港区曲阜师大附属学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省日照市东港区曲阜师大附属学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴的原点未标注，数轴的单位长度为，数轴上的点和点表示的数的绝对值相等，那么可以判断点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  我们知道三角形的内角和为，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为，五边形则可以分成个三角形，它的内角和为如图，依此类推，则八边形的内角和为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点坐标为，点坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一辆汽车开往距离出发地目的地，出发后第一个小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前分钟到达目的地，设目前一小时的行驶速度为，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合， ，轴，对角线，交于点已知，的面积为若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  二次函数的部分图象如图，对称轴为，且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  如图，在矩形中，、相交于点，，平分，与相交于点、与相交于点，则下列结论中正确的有(    )



若，则
若的面积是矩形面积的，则

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  已知关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是______．

14.  分解因式：______．

15.  如图，点，，，在上，，若，，则的长是______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，点，，，在轴上且，，，按此规律，过点，，，作轴的垂线分别与直线交于点，，，记，，，的面积分别为，，，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  化简：；
解不等式：．

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
从甲、乙两班各随机抽取名学生共人参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的组满分为分：组：，组：，组：，组：，组：，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩；
参加测试的学生被随机安排到个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：，，，，，，，，，；
乙班：，，，，，，，，，．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为，；样本方差为，请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．

 

19.  本小题分
习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费元集中采购了种树苗株，种树苗株，已知种树苗单价是种树苗单价的倍．
求，两种树苗的单价分别是多少元？
红旗村决定再购买同样的树苗株用于补充栽种，其中种树苗不多于株，在单价不变，总费用不超过元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

20.  本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
求证：是的切线；
；
若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

21.  本小题分
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点是正方形内一点，，，你能求出的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数；
思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数．

 

22.  本小题分
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

求抛物线的表达式；
是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选A．
先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式结构特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两点表示的数绝对值相等代表两个点距离原点的距离相等，也就是、两点的中点就是数轴的原点，确定原点后，可以得到点为．
故选：．
本题通过、两点表示的数绝对值相等，判断得到原点的位置，进而得到点代表的数值．
本题主要考查了绝对值的性质，需要对绝对值以及数轴的知识熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：度．故选B．
因为四边形可以分成两个三角形，五边形则可以分成个三角形，依此类推，则八边形可以分成个三角形，故它的内角和是度．
根据已知条件猜想出多边形的边数与分成的三角形的个数之间的关系，是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：树状图如图：

共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种，
张老师与王同学走相同通道的概率为：，
故选：．
画出树状图，共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种，再根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，


，
又是的外角，
，
故选：．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质和外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于．

，，，
，，，，
，，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作轴于，过点作轴于利用相似三角形的性质求出，，可得结论．
本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意第一个小时的速度和原计划的速度一样．
【解答】
解：由题意可得，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，

，
∽，
，且，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选B．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例．
过点作于，首先证明∽，利用相似三角形的性质求出的面积为，再证明，进而求出的面积，利用反比例系数的几何意义即可求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，且交轴于正半轴，
，，
对称轴，即，
，
，
故正确；
二次函数的图象过点，
，
又可知，
，即，
故正确；
二次函数的图象过点，且对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
当时，，
，
故不正确；
抛物线开口向下，对称轴是直线，且，，
，
故选正确；
抛物线开口向下，对称轴是，，
当时，抛物线取得最大值，
当时，，
即
，
，
，
故正确，
综上，结论正确，
故选：．
抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及与之间的关系：；根据二次函数的对称性可得出；当时，距离对称轴越远所对应的越小；由抛物线开口向下，对称轴是，可知当时，有最大值．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
故不正确；
，，
，
故正确；
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故正确；
过点作，垂足为，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故正确；
过点作，垂足为，

，
，
，
是的中位线，
，
的面积是矩形面积的，
，
，
，

故正确；
所以，上列结论中正确的有个，
故选：．
根据矩形的性质可得，，再利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据，可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质，，从而可得，，即可判断；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判断；根据三角形的内角和定理可求出的度数，从而求出的度数，进而可得，然后利用两角相等的两个三角形相似证明∽，再利用相似三角形的性质即可判断；过点作，垂足为，根据平角定义可求出，从而可得是等腰直角三角形，进而求出的长，然后根据，求出，从而求出的长，即可判断，过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后再根据已知的面积是矩形面积的，进行计算即可判断．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
由得，
由得，
，
不等式组仅有个整数解，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式“”进行因式分解即可。
【解答】解：原式
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：连接，作直径连接，设交于点．

，
是直径，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
故答案为：
连接，作直径连接，设交于点解直角三角形求出，，，，，再求出，，可得结论．
本题考查解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
，
，
，
，

，
故答案为：．
根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，再从数字上找规律进行计算即可解答．
本题考查了规律型：点的坐标，含度角的直角三角形，根据已知分别求出，，，的值，然后从数字上找规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式



；
，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化，得：． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化”的步骤解一元一次不等式．
本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
 

18.【答案】解：组人数为：人，组人数为：人，
补充完整频数分布直方图如下：

估算参加测试的学生的平均成绩为：分；
把个不同的考场分别记为：、、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有种，
小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；
样本方差为，，
，
甲班的成绩稳定，
甲班的数学素养总体水平好． 

【解析】求出组和组的人数，补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有种，再由概率公式求解即可；
由两班样本方差的大小作出判断即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设种树苗每株元，种树苗每株元，由题意，得：
，
解得，
答：种树苗每株元，种树苗每株元；
设购买种树苗株，则购买种树苗株，总费用为元，
由题意得：，，
，
，
解得：，
，
是整数，
取，，，，
共有种购买方案，
方案一：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案二：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案三：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案四：购买种树苗株，购买种树苗株，
，，
随的增大而减小，
时，最小，
第四种方案费用最低，最低费用是元．
答：共有种购买方案，费用最省的购买方案是购买树苗株，种树苗株，最低费用是元． 

【解析】设种树苗每株元，种树苗每株元，根据题意得到等量关系建立方程组求出其解即可；
设种树苗购买株，则种树苗购买株，总费用为元，根据题意得，然后根据一次函数性质即可解决问题．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组，找出不等关系列出不等式．
 

20.【答案】解：连接，

是的平分线，，
，，
，
，而，
，是的半径，
是的切线；
连接，
是的切线，
，，
∽，
，
；
连接、，设圆的半径为，
点是劣弧的中点，是中垂线，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
、是等边三角形，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
证明，即可求解；证明∽，即可求解；
证明、是等边三角形，，即可求解．
 

21.【答案】解：思路一、如图，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
≌，
，，，
在中，，
，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
是直角三角形，且，
；
如图，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
≌，
，，，
在中，，
，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
是直角三角形，且，
． 

【解析】思路一、先利用旋转求出，，，利用勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，得出，即可得出结论；
思路二、同思路一的方法即可得出结论；
同的思路一的方法即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
 

22.【答案】解：在中，当时，，
点坐标为，
当时，，
，
点坐标为，
对称轴为直线，
点坐标为，
设抛物线的表达式为，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的表达式为；
如图，作于，交于，

点坐标为，则点坐标为，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
此时点坐标为；
设点坐标为，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，即，
，
解得，
点坐标为，
，
，，
点坐标为 

【解析】本题考查二次函数及其图象的性质，勾股定理，以及菱形的性质．
先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，表示出三角形和三角形的面积，进而表示出与之间的函数关系式，进一步求得结果；
根据菱形的性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形的性质，进一步求得点坐标．