江西省宜春市宜丰中学2022-2023学年高一学业水平考试模拟数学试题（含解析）

江西省宜春市宜丰中学2022-2023学年高一学业水平考试模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

2．若a，b均为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．正数，满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

4．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：                      ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（    ）

A． B．

C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立

7．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（    ）

A． B． C． D．

8．定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：）依次为，则该组数据的（    ）

A．极差为 B．平均数为

C．中位数为 D．第75百分位数为

10．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数的一个对称中心是

C．若，则 D．函数的一个对称中心是

11．下列命题正确的有（    ）

A．命题“，”的否定“，”

B．函数单调递增区间是

C．函数是上的增函数，则实数a的取值范围为

D．函数的零点所在区间为且函数只有一个零点

12．已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．若， 则

C．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个

D．若，则的取值范围是

三、填空题

13．当时，幂函数为减函数，则_________．

14．半径为，圆心角为的弧长为___________.

15．已知函数，当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是___________．

四、双空题

16．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则__________,实数m的取值范围是__________.

五、解答题

17．求下列各式的值

(1).

(2)

18．设，：实数满足.

(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19．某校高二（5）班在一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在分的学生数有14人.

(1)求总人数和分数在的人数；

(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？

(3)现在从分数在分的学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率.

20．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.

（1）求的解析式，并求其在上的增区间；

（2）若在上有两解，求实数的取值范围.

21．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．

（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？

22．若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数其中为常数.

（1）若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；

（2）已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，

（i）求函数的值域；

（ii）对于上的任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】A. 根据函数的解析式判断；B.根据函数的解析式判断；C.根据函数的图象判断；D.根据函数的图象判断.

【详解】A. 的最小正周期为，是非奇非偶函数，故错误；

B. 的最小正周期为，是奇函数，故错误；

C.如图所示：   ，不周期函数，为偶函数，故错误；

D. 如图所示：  ，的最小正周期为，是偶函数，故正确；

故选：D

2．A

【分析】根据函数与解不等式，即可判断.

【详解】解：因为，由函数在上单调递增得：

又，由于函数在上单调递增得：

由“”是“”的充分不必要条件

可得“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．C

【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】因为为正数，且，所以有，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

4．D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

5．A

【分析】根据随机数找出三次投篮恰有两次命中的数组，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，

所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.

故选：A

6．B

【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；

两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；

事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，

其对立事件为，D正确；

事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，

与事件含义相同，故，B错误；

故选：B.

7．A

【解析】根据的相邻的两个对称中心，得到周期，从而得到，结合在区间内单调递减，得到，根据对称中心得到，再对得到的根据在区间内单调递减，进行判断，从而得到答案.

【详解】点和是函数图像的相邻的两个对称中心

且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，

函数的最小正周期，

即，解得.

又在区间内单调递减，

，

.

由，，

得，.

，

当时，；

当时，.

①当时，，

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，.

当时，函数的单调递减区间为，满足条件.

②当时，.

由，，

得，，

即函数的单调递减区间为，，

当，时，函数单调递减区间分别为，，

不符合题意，故舍去.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查根据根据正切型函数的性质求解析式，根据正切型函数的单调性和周期性求参数的值，属于中档题.

8．A

【分析】根据条件，推出函数 的对称性，周期性和单调性，将自变量 转到区间 内，再根据单调性即可比较大小.

【详解】∵，，∴ ，

∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，

当 时，，在递增，

由对称性知在 ，递减

∴， ，

，

又 ， ，

由条件知 ，，

∴；

故选：A.

9．ABD

【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.

【详解】体温从低到高依次为，

极差为，故正确；

平均数为，故B正确；

中位数为，故错误；

因为，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是，故D正确.

故选：ABD.

10．AC

【分析】对于A、B选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C、D选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可.

【详解】因为，故A正确；

正弦函数的对称中心为，故B错误；

根据三角函数的图象变换可得：，

令，故其对称轴为，若，由对称性可得，显然成立，故C正确；

令，故其对称中心为，

显然无论k取何值，故D错误.

故选：AC

11．BD

【分析】对于A，由全称命题的否定为特称命题即可；

对于B，先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；

对于C，由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即可；

对于D，先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.

【详解】对于A，命题“，”的否定“，”，故A选项错误；

对于B，由，得，令，则，

因为在上单调递增，在上单调递减，

又在定义域内单调递减，

所以在上单调递减，在上单调递增，故B选项正确；

对于C，因为函数是上的增函数，

所以 ，解得：，故C选项错误；

对于D，因为函数和函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上单调递减，

又因为 ，

所以函数在区间上只有一个零点，故D选项正确.

故选：BD.

12．BCD

【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D.

【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，

所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；

对于B，因为，所以的图像关于点对称，

所以，故B正确；

对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以，

又，所以，所以，

即满足条件的有且仅有1个，故C正确；

对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，

所以，其中，解得，，

当时，，当时，，

故的取值范围是，故D正确.

故选：BCD

13．2

【分析】利用幂函数定义即可得到结果.

【详解】函数为幂函数，则，解得或，

又因为函数在上单调递减，

可得，可得，

故答案为：2

14．/

【分析】根据弧长公式(：扇形圆心角，：扇形的半径)

【详解】

故答案为：

15．

【分析】将问题转化为研究与有三个交点，先求出时，，然后分以及，作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出答案.

【详解】因为函数有且仅有三个零点，所以与有三个交点.

当时，，

当时，作出的图象，如图1所示，

由图象可知，此时与只有一个交点，不满足题意；

当时，作出的图象，如图2所示，

由图象可知，当，即时，与有三个交点，

即当函数有且仅有三个零点时，.

综上所述，实数a的取值范围是.

故答案为：.

16．     /    

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的表达式，根据其对称中心可求得，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，

得到的函数的图象关于点对称，

，即，

因为，则，

若，则，

在区间上单调递增，，

当，，

，且，

即，且，；

若，则，

在区间上单调递增，，

当，，

，且，

即且，故；

综上可得，，.

故答案为：；

【点睛】难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m的范围，即可确定答案.

17．(1)

(2)

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值即可.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）求得命题对应的不等式解集，与命题对应的不等式取交集即可；

（2）求得命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.

【详解】（1）当时，可得，

可化为， 解得，                                

又由命题为真命题，则       .

所以，都为真命题时，则的取值范围是

（2）由，解得，   

因为，且是的充分不必要条件，

即集合 是的真子集，       

则满足 ，解得，所以实数的取值范围是.

19．(1)4；

(2)众数和中位数分别是107．5，110；

(3)﹒

【分析】(1)先求出分数在内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在内的学生的频率，由此能求出分数在内的人数．

(2)利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．

(3)由题意分数在内有学生6名，其中男生有2名．设女生为，，，，男生为，，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．

【详解】（1）分数在内的学生的频率为，

∴该班总人数为．

分数在内的学生的频率为：，

分数在内的人数为．

（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为．

设中位数为，，．

众数和中位数分别是107.5，110．

（3）由题意分数在内有学生名，其中男生有2名．

设女生为，，，，男生为，，从6名学生中选出2名的基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，共15种，

其中至多有1名男生的基本事件共14种，

其中至多含有1名男生的概率为．

20．（1），；（2）.

【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令，可得结果

（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.

【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，

函数的图像关于原点对称，，所以

（1）由， 得，

令得，得

在增区间是；

令，则所以

若有两解，即在上有两解，

由的图象可得，，即

的取值范围是

21．（1），，，，

（2），（3）天.

【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；

（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；

（3）由解得：，减去即得答案.

【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，

则，

由解得：，

所以，，

所以段的函数表达式为，

（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：

，

（3）由解得：，

所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.

22．（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】（1）根据局部奇函数性质得，进而，即，由于，，故的解集为；

（2）（i）由题得，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数的值域；（ii）根据题意分当时，当时，当时三种情况讨论求解.

【详解】解：（1）对上成立，即，

所以，故等价于，

令，即，解得或，

又，，，又

的解集为.

（2）（i）

①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以；

②当，令，为对勾函数，，所以.

的值域为

（ii）①当时，， ，

②当时，， 成立，

③当时，， ，

综上，的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当时，当时，当时三种情况讨论求解.