2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高一下学期4月份学业水平考核数学试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高一下学期4月份学业水平考核数学试题

一、单选题

1．计算的结果等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.

【详解】

故选：A

2．下列命题中正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量

C．若，则 D．任意向量的模都是正数

【答案】B

【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.

【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；

对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；

对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；

对于D，零向量的模长是，故D错误．

故选：B.

3．已知，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】B

【分析】变换，代入计算得到答案.

【详解】，.

故选：B

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式求解．

【详解】,

故选：C

5．函数在区间上的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由奇偶性排除AC；由的解判断BD.

【详解】令，，即函数为偶函数，

图象关于轴对称，故AC错误；

令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误；

故选：B

6．函数的定义域为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数式的真数大于0，然后解三角不等式可得答案.

【详解】函数的定义域为：，

则，解得：，

所以函数的定义域为

故选：D.

7．已知函数，在上恰好有7个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简为，令，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得解

【详解】，令，

，

，

由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，即，或，，

当时，，

…

当，.

由的性质可得，

解得．

故选：A．

8．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据面积比得到，确定，，再根据计算得到答案.

【详解】两个半圆的面积之比为3，则半径之比为，即，

，故，

，，故，

，

，

故选：A

二、多选题

9．下列各式中，值为1的是（      ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】选项A利用二倍角的余弦公式计算得出结果；选项B利用二倍角的正弦公式计算得出结果；选项C利用两角和的余弦公式计算得出结果；选项D利用两角和的正切公式计算得出结果.

【详解】对于选项A，，故A错误；

对于选项B，，故B正确；

对于选项C，，故C正确；

对于选项D，，故D错误.

故选：BC.

10．下列各式中能化简为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由向量的加法与减法法则逐一验证即可

【详解】对于A：，故A 错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，图象的一个对称中心为

B．当为奇数时，的最小正周期是

C．当为偶数时，

D．当为偶数时，在上单调递减

【答案】ACD

【分析】对A：根据对称中心的性质分析运算；对B：分和两种情况讨论，整理分析；对C：分和两种情况讨论，结合辅助角公式运算求解；对D：根据选项C的结果，结合单调性分析运算.

【详解】A选项：当时，则，

可得，故图象的一个对称中心为，故A正确；

B选项：当为奇数时，则有：

若，则，

此时函数的最小正周期是；

若，则，

显然没有最小正周期；故B错误；

C选项：当为偶数时，则有：

若，则，；

若，则，，故C正确．

D选项：由选项C可知：当为偶数时，或，

∵，所以，故在上单调递减，故D正确．

故选：ACD.

12．已知函数，说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增；

B．的对称轴是；

C．若，则；

D．方程在的解为，且.

【答案】AD

【分析】先根据的取值范围去掉绝对值得出分段函数，的周期，

结合函数的图象逐一判断各选项.

【详解】当时，；

当时，.

函数的周期.

如下图，

对于A，在区间上单调递增，故A正确；

对于B， 不是的对称轴，故B错误；

对于C，令，；令，.

满足，，不满足，故C错误；

对于D，方程在的解为.

如下图，

关于直线对称，则；关于直线对称，则，所以，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．，若，则______．

【答案】0

【分析】利用函数的奇偶性进行求解.

【详解】因为，令，

所以，

所以，即，

所以.

故答案为：0.

14．若，则的最小值为__________.

【答案】9

【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（当且仅当时等号成立）

故答案为：

15．求值：__________.

【答案】

【分析】把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．

【详解】解：

．

故答案为：．

16．已知函数，若存在实数满足互不相等，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.

【详解】函数的图象如下图所示：

存在实数满足互不相等，不妨设，则由图可知关于对称，所以；

当时，，，则，此时；

当时，因为解得或，故而，，且由图可得，即，可得，

所以

设，则，在上单调递减，所以，所以，综上所述；

故答案为：.

四、解答题

17．计算下列两个小题

(1)计算；

(2)已知角终边上有一点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式直接化简求解即可；

（2）先利用三角函数的定义求，再利用诱导公式代入求解即可.

【详解】（1）

（2）因为角终边上有一点，

所以，，，

所以.

18．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用运算求解；

（2）先求出，再分析得到，即得解.

【详解】（1）由题意可得：.

（2）由（1）可知：，

则，

∵，，则，，

可得，

故

19．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间的值域；

【答案】(1)最小正周期为，递增区间为，；

(2)

【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；

（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.

【详解】（1），

∴函数的最小正周期为.

令，，则，，

所以单调递增区间为，.

（2）∵，则，∴，

∴，故函数在区间的值域为.

20．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，结合图象可求得的解析式，则由可求得；

（2）由（1）可得，令，将问题转化为在上与恰有个交点，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】（1）令，

由图象可知：，最小正周期，，

，则，解得：，

又，，，

.

（2）由（1）得：，

当时，，

令，则在上与恰有个交点，

作出与的图象如下图所示，

由图象可知：当时，与恰有个交点，

即若在上恰有个零点，则的取值范围为.

21．设函数，将函数的图象向左平移单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为，且为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)令函数对任意实数， 恒有，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数图象平移变换以及最小正周期为，可得，利用平移后的函数为奇函数可得；

（2）将代入化简可得，再利用换元法根据由二次函数单调性即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由题可知，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．

则，

由的最小正周期为，得

由为奇函数可得，即，因为，所以．

所以．

（2）由（1）得，

所以，

根据恒成立，可得对任意实数恒成立；

令，

因为，所以，根据正弦函数单调性可得，即，

再根据二次函数单调性可得

因此．

即实数的取值范围为

22．已知函数，且.

(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；

(2)若，求的值域；

(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)，函数的最小正周期为

(2)

(3)存在正整数，理由见解析

【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，故得函数的最小正周期；

（2）根据，得到，设，，转化为二次函数求解；

（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而得解.

【详解】（1）函数，

∵，

∴，解得：，

所以，

因为的周期是都，

又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，

所以函数的最小正周期为.

（2）若，则，

设，则，

则，

所以，

所以其值域为；

（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．

当时，．

设，

则，

于是，

令，得或，

此时，或或，其中，

当时，．

设，则，

于是，

令，

解得或，

故在没有实根．

综上，在上有4个零点，

又的最小正周期为，而，

所以函数在有2025个零点．