初中数学中考复习：28勾股定理及其逆定理(含答案)

中考总复习：勾股定理及其逆定理(基础) 巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1. 直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，则这个三角形的锐角是（   ）.
　　A．15°   B．30°   C．45°   D．75°

2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（   ）.
　　 A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°
　　

3. 如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为（   ）. A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．
　

4．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下，其中不是直角三角形的是（   ）.
　　A. 1:1:2 　　　B. 1:3:4 　　　C. 9:25:36 　　　D. 25:144:169
5.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（   ）．

A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
　　 　　　

6.若△ABC的三边a、b、c满足a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（    ）.
　　A．338　　　　B．24　　　　　C．26　　　　　　　D．30

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二、填空题

7. （2011贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．

8. 已知直角三角形的三边长分别为3，4，x，则 x=______________.

9. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．

10. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要__________分的时间．　

11.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：
）
　

12.若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；
②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；

③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；
④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.
其中所有正确结论的序号为_____.

三、解答题

13. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.

 

14.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.

（1）求A、C两点之间的距离.

（2）确定目的地C在营地A的什么方向.

15. 已知：如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm， BC=10cm，求EC的长.
　　

　　　　　

16.如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】C .

【解析】由题意：，所以所以从而a=b,该三角形是等腰直角三角形，所以锐角为45°.

2．【答案】C .

【解析】连接AC，计算AC=BC= ,AB=,满足勾股定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC

=45°.

3．【答案】D.

【解析】可证明△BDE是直角三角形，DE=4，BE=8，= .

4．【答案】C .

【解析】开方后看哪一组数满足勾股定理即可.

5．【答案】B.

【解析】由勾股定理得AC=5，AC的一半=2.5设AN=x=CN，BN=4－x,在直角三角形BCN中，运用勾股定理列关于x的方程.

6．【答案】D.

【解析】由a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c得（a－5）+(b－12) +(c－13) =0.

二．填空题

7．【答案】6 .

【解析】因为∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，所以AB=10cm. 根据翻折的性质可知：，则,设，则AD=8－x, 在直角△中，应用勾股定理：，解得：x=3. 则S.

8．【答案】5或.

由于不知道4与x的大小关系，所以两者都有可能作斜边。
　　　　　①当x为三角形的斜边时，有，所以x=5；
　　　　　②当4为三角形的斜边时，有，所以x=（舍负）.
　　　　　综上所述，x为5或.

9．【答案】.

   【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.

10．【答案】12.

11.【答案】2.

【解析】提示：将吸管从指定地方插入，一直到包装盒的左前下角或左后下角，此时为吸管深入的最大距离，两次使用勾股定理可得：h=13-11=2cm）．

12．【答案】②③．

【解析】由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2=c2，然后根据三角形三边关系即任意一边长大于其他二边的差，小于其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．

三.综合题

13．【解析】

延长AD、BC交于E．
　　　∵∠ A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°,
　　　∴ AE=2AB=8，CE=2CD=4，
　　　∴ BE2=AE2－AB2=82－42=48，BE==,
　　　∵ DE2= CE2－CD2=42－22=12，∴DE==,
　　　∴ S四边形ABCD=S△ABE－S△CDE=AB·BE－CD·DE=.

14．【解析】

      （1）过点B作BE//AD，
　　∴∠DAB=∠ABE=60°，
　　∵ 30°+∠CBA+∠ABE=180°
　　∴∠ CBA=90°
　　即△ ABC为直角三角形，
　　由已知可得： BC=500m，AB=，
　 由勾股定理可得：，
   所以；
　（2）在Rt△ABC中，
　 ∵ BC=500m，AC=1000m，
　 ∴∠CAB=30°，
　 ∵∠ DAB=60°，
　 ∴∠ DAC=30°，
　 即点 C在点A的北偏东30°的方向.

15．【解析】

设CE=x， 则DE=8－x，
　　由条件知：Δ AEF≌ΔAED，∴AF=AD=10， EF=DE=8－x，
　　在Δ ABF中，BF2=AF2－AB2=102－82=62，
　　∴ BF=6， ∴ FC=4，
　　在 RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2， ∴(8－x)2=x2+42，
　　即 64－16x+x2=16+x2， ∴16x=48， x=3，
　　答：EC的长为3cm.

16.【解析】

作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：

在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．

∵点G、A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．

由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．

最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中，

∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，

∴由勾股定理得．

∴GB＝1000，即最短路程为1000米．