初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．10 两点的距离公式优质教学作业课件ppt

19.10 两点的距离公式（作业）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知A、B两点关于原点对称，且A(3，4)，则AB为（　　　）

A．5 B．6 C．10 D．8

【答案】C

【分析】关于原点对称的的的特征是，横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，据此解题即可．

【详解】B两点关于原点对称，且A（3，4），那么B；根据两点的距离公式可得AB=10

故选：C．

【点睛】本题考关于原点对称的点的特征，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题

2．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．

【答案】5．

【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=

【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5,

故答案为5,

故答案是：5.

【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．

3．（2022·上海·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标______．

【答案】，，，

【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可

【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4；

②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3

综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）

【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理

4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为_____．

【答案】(3，0)或(-9，0)

【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可．

【详解】

xB=3或-9

故答案为：3或-9

【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知A（2，）和B（3，—3）两点，若线段ＡＢ平行于轴，则＝___，AB＝_____．

【答案】     －3     1

【分析】平行于x轴，则点的纵坐标相同，据此解答．

【详解】线段ＡＢ平行于轴，点A、B的纵坐标相等，故y＝－3，

，

故填：－3；1．

【点睛】本题考查坐标的特征、线段长度与坐标的关系，平行于x轴，则纵坐标相同是关键．

6．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 ___．

【答案】5

【分析】利用两点之间的距离公式即可得．

【详解】解：，

，

即、两点的距离等于5，

故答案为：5．

【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟记两点之间的距离公式是解题关键．

7．（2019·上海市毓秀学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知A（-2，3），B（-1，-2），则AB=_________________．

【答案】．

【分析】根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长．

【详解】解：点A（-2，3）和点B（-1，-2），

∴AB=

＝．

故答案为．

【点睛】本题考查两点间的距离公式，解题的关键是明确两点间距离公式的计算方法．

8．（2018·辽宁沈阳·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3，4），则线段OP的长为________．

【答案】5

【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可．

【详解】

解：如图所示：

∵P（3，4），

∴OP==5．

故答案为5．

【点睛】本题考查勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．

三、解答题

9．（2022·上海·八年级单元测试）已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状．

【答案】ABC是等腰直角三角形，见解析

【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题．

【详解】利用两点的距离公式，可得

AB= ，

AC= ，

BC= ，

所以AC=BC，AB2=AC2+BC2

所以△ABC是直角三角形，

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．

【点睛】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

10．（2018·上海市西南模范中学八年级阶段练习）列方程解应用题：

如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？

【答案】15

【分析】根据题意设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，进而利用勾股定理即可解答．

【详解】解：设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，

由题意可得：，

解得：x=15，

答：D处距离A镇15千米．

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是读懂题意，表示出BD，CD的距离．

11．（2019·上海民办永昌学校八年级阶段练习）如图在直角坐标平面系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点，A(+1,0) 、B(0,),已知: OB边上有一点D(0,2).若DE⊥CD于D交x轴于E,请求出点E的坐标.(需写出简要推理过程)

【答案】（1,0）

【分析】首先设点E的坐标为，求出DE、CD、CE的距离，然后利用勾股定理即可得出点E的坐标.

【详解】设点E的坐标为

∵D(0,2)

∴

又∵A(+1,0) ，B(0,),

∴C

∴

又∵，DE⊥CD

∴

∴

∴

∴点E的坐标为（1,0）

【点睛】此题主要考查直角坐标系中两坐标之间的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.

12．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）点P到y轴的距离与它到点A(-8,2)的距离都等于 13,求点P 的坐标。

【答案】或.

【分析】由P到y轴的距离为13，可得P点横坐标为13或-13，设出P点坐标，然后利用两点间的距离公式建立方程求解即可.

【详解】解：∵点P到y轴的距离为13，

∴P点横坐标为13或-13

当P点横坐标为13时，设P(13,a)

由点P到点A(-8,2)的距离等于13得：

整理得，无解，故此种情况不存在；

当P点横坐标为-13时，设P(-13,a)

同理可得

整理得，解得或

∴点P的坐标为或.

【点睛】本题考查直角坐标系中两点间的距离公式与解一元二次方程，熟练掌握公式建立方程是解题的关键.

【能力提升】

一、单选题

1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　）

A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上

C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对

【答案】B

【分析】利用两点的距离公式，可得AB= 5，AC= 3，BC= 2，因为AB=AC+BC可得点A 、点B、点C在同一条直线上

【详解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，

∴AB===5，

AC= ==3，

BC= ==2，

∴AB=AC+BC,

∴点A 、点B、点C在同一条直线上.

故选：B

【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键.

二、填空题

2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝____．

【答案】8或0

【分析】根据两点的距离公式解答即可.

【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，

故答案为：8或0.

【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.

3．（2022·上海·八年级单元测试）已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为______．

【答案】或

【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可

【详解】解：

因为∠ACB=90°，C点在x轴上，

所以

即，整理得，

解得

所以点C坐标为（-4,0）或（1,0）

【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理

4．（2022·上海·八年级专题练习）已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 _____．

【答案】

【分析】设C点的坐标为，根据两点间距离公式含y的式子表示出，根据线段垂直平分线的性质得到BC＝AC，列出方程，解方程得到答案．

【详解】解：设C点的坐标为，

由勾股定理得：，，

∵点C在线段AB的垂直平分线上，

∴BC＝AC，

∴，

解得：y＝－2，

∴C点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、两点间距离公式，根据线段垂直平分线的性质得出BC＝AC是解题的关键．

5．（2022·上海·八年级单元测试）在直角坐标系中，点，点在轴上，，那么点的坐标是______．

【答案】或##或

【分析】利用距离公式列方程计算即可．

【详解】∵点在轴上，

∴设点的坐标是

∵点，，

∴

整理得：

解得：

∴点的坐标是或

故答案为：或．

【点睛】本题考查直角坐标系中两点直接的距离公式、解一元二次方程，解题的关键是根据距离公式列方程．

6．（2022·上海·八年级专题练习）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________．

【答案】

【分析】由、，再根据长度公式可得出AB的距离表达式，由即可求得的值．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求两点距离，掌握两点间的距离公式是解决此题的关键．

7．（2022·上海·八年级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于_________．

【答案】．

【分析】根据两点间的距离公式计算即可．

【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了两点间的距离公式，解题关键是熟练运用勾股定理进行计算．

8．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．

【答案】B

【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2、BC2、AC2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．

【详解】解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），

∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．

故答案为B．

【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．

三、解答题

9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．

【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.

【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．

【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，

根据题意可知,

设P(x,0)，则

整理得：，

解得．

故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．

【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．

10．（2017·上海·八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】10km

【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．

【详解】由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km．

∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，

∴AC2+AE2=BE2+DB2，

∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，

解得：x=1．

答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题的关键．

11．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图,在平面直角坐标系中,正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点A、点B,已知点A(3，m).

(1)求的值及反比例函数的解析式；

(2)已知点B(n，)，求线段AB的长；

(3)如果点C在坐标轴上，且△ABC的面积为6，求点C的坐标.

【答案】(1)，；

(2)；

(3)（6，0）或（－6，0）或（0，2）或（0，－2）．

【分析】（1）将A(3，m)代入正比例函数解析式可求出m，得到点A坐标，然后利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；

（2）先求出点B坐标，然后利用勾股定理求出AB即可；

（3）分两种情况讨论：①当C在x轴上时，②当C在y轴上时，分别根据△ABC的面积为6列式求出OC即可．

（1）解：将A(3，m)代入得：，∴A(3，1)，将A(3，1)代入得：，∴反比例函数的解析式为：；

（2）当y＝－1时，，解得：x＝－3，∴B（－3，－1），∴AB＝；

（3）①当C在x轴上时， 由题意得：，∴OC＝6，∴C（6，0）或C（－6，0），②当C在y轴上时，由题意得：，∴OC＝2，∴C（0，2）或C（0，－2），综上，点C的坐标为：（6，0）或（－6，0）或（0，2）或（0，－2）．

【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，勾股定理的应用，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

12．（2021·上海·八年级专题练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的2倍，求点的坐标．

【答案】点的坐标为或．

【分析】设，根据勾股定理计算两点距离，列出方程，进而求解即可．

【详解】设，由题意得：

，

两边平方得，

整理得，，

，

，

解得：．

点的坐标为或．

【点睛】本题考查了勾股定理求坐标系中两点距离，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．

13．（2021·上海·八年级专题练习）已知点A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判断的形状，并求出的面积．

【答案】是等腰直角三角形，面积为1．

【分析】先根据两点之间的距离公式分别求出AB、AC、BC的长，再根据等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理可得的形状，然后根据直角三角形的面积公式即可得．

【详解】，

，

，

，

，且，

是等腰直角三角形，且，

．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．