2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市广灵县平城中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如果满足，，的恰有一个，那么的取值为(    )

A.  B.
C.  D. 或

7.  已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于函数，下列叙述有误的是(    )

A. 其图象关于直线对称
B. 其图象关于点对称
C. 其值域是
D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中是假命题的为(    )

A. 已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B. 若，共线，则
C. 已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D. 若，，三点共线，则

10.  下列命题为真命题的是(    )

A. 已知幂函数的图象过点，则
B. ，
C. 函数过定点
D. 时，的最小值为

11.  数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上余四约之，为实：一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是(    )

A. 的周长为
B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为
D. 的中线的长为

12.  已知函数，函数满足则(    )

A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 若实数、满足，则
D. 若函数与图象的交点为、、，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设向量，，若向量与同向，则______；

14.  一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底面为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________

15.  复数满足，则的最小值是______．

16.  在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足．
求复数；
若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知向量，，．
求向量与夹角的正切值；
若，求的值．

19.  本小题分

在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．

求角的大小

求的值

求的值．

20.  本小题分
如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且：：：，求证：
，，，四点共面；
与的交点在直线上．

21.  本小题分
已知向量，．
求在方向上的投影向量的坐标；
若向量，求实数的值；
若向量满足，求的值．

22.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
若点在边上，且，，求的面积；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：或，
，
又，
，
故选：．
利用补集的运算求出，再求出集合，集合交集的运算即可求出结果．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数满足，
则，
，
．
故选：．
根据复数的定义与运算性质，计算即可．
本题考查了复数的定义与计算问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：点是的边的中点，点在边上，
且，
则向量

．
故选：．
画出图形，利用向量的加减法求解即可．
本题考查平面向量的加法与减法运算法则的应用，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
设圆锥的底面半径为，高为，由圆锥的侧面积求出，再由勾股定理求出，由体积公式求解即可．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为，高为，，
因为侧面展开图扇形的面积为，
所以，解得，
又圆锥的母线长为，
所以，
则．
故本题选D．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，的大小关系为．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论．易错点在于可能漏掉这种情况．
要对三角形解的各种情况进行讨论，即：无解、有个解、有个解，从中得出恰有一个解时满足的条件．

【解答】

解：；
；
；
当，即时，三角形有个解．
综上所述：当时，三角形恰有一个解．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：因为球的体积为，所以球的半径为，
又球与正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱底面内切圆的半径为，棱柱高为，
设正三棱柱的外接球的球心为，底面内切圆的圆心为，
设的中点为，则在上，且，，

又，则三棱柱外接球的半径为，
即外接球的表面积为．
故选：．
根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案．
本题主要考查球的表面积，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数，
由，为最小值，可得其图象关于直线对称；
由，可得其图象不关于对称；
由，可得函数的最小值为；，可得函数的最大值为，
可得函数的值域为；
由图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，
故A，，D正确；B错误．
故选：．
由正弦函数的对称轴特点，计算可判断；由正弦函数的对称中心特点计算可判断；由正弦函数的值域计算可判断；由正弦函数的周期变换特点计算可判断．
本题考查正弦函数的图象和性质，考查对称性和值域的求法，以及图象的周期变换，考查化简变形能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底了，所以不正确；
中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以不正确；
中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
中，由向量的三点共线的定理可得，所以D正确；
故选：．
中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断的真假；中，共线向量不一定相等，判断的真假；中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断的真假；中，由三点共线的性质可判断的真假．
本题考查向量的运算性质及向量的基本定理的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：已知幂函数的图象过点，则，，则，故A正确；
对于：，，故B正确；
对于：当时，，故经过定点故C正确；
对于：当时，故D错误．
故选：．
直接利用幂函数，二次函数性性质，指数型函数，基本不等式的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：幂函数，二次函数性性质，指数型函数，基本不等式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，
根据正弦定理有：：：：，
所以设，，，
又，
所以有，
解得，
所以，，，
的周长为，故A正确；
在中，由余弦定理有，
所以，故B正确；
由正弦定理有外接圆直径，
故C正确；
在中，由余弦定理有，
在中，由余弦定理有，
，故D错误．
故选：．
阅读理解题目条件计算得出三角形的三边，然后依据条件逐一判断选项的正确性．
本题考查了学生的阅读理解能力，还考查了学生联合运用知识的能力，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数，函数满足．
对于，对任意的，，
函数的定义域为，
，
，故A正确；
对于，函数满足，
函数的图象关于点对称，故B错误；
对于，函数的定义域为，
，，
函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
函数在上为增函数，
函数在上也为增函数，
函数在上连续，函数在上为增函数，
函数在上为增函数，函数在上为增函数，
实数、满足，
，可得，即，故C正确；
对于，由上可知，函数与图象都关于点对称，
函数与图象的交点为、、，
不妨设，
若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，，D错误．
故选：．
对于，推导出函数的定义域为，，由此能求出结果；对于，由函数满足，得到函数的图象关于点对称；对于，推导出函数为奇函数，函数在上为增函数，由此判断；对于，函数与图象都关于点对称，设，推导出，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，由此判断．
本题考查函数奇偶性、周期性、单调性、复合函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，
若向量与平行，
则，
解得；
又向量与同向，
则．
故答案为：．
根据向量与共线列方程求得，再根据与同向得出的值．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，
所以，
，
，
所以这个平面图形的面积为
．
．
故答案为：．
根据斜二测化法规则画出原平面图形，求出面积即可．
本题考查了斜二测直观图的应用问题，根据斜二测画法正确画出原平面图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：复数满足，
则复数表示的点到，两点的距离之和为，
而，两点间的距离为，
设为，，
则表示的点的集合为线段，
的几何意义为点到点的距离，
分析可得，在点时，
取得最小值，且其最小值为．
根据题意，分析可得满足的点几何意义为线段，进而分析的几何意义，进而由图示分析可得答案．
本题考查复数的模的计算，一般有两种方法，利用复数的几何意义，转化为点与点之间的距离，设出复数的代数形式，由模的计算公式进行求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的坐标系，

则，，，
设，则，且，
，，
，
故当时，的最小值为，
故答案为：．
画出图形，建立坐标系，利用向量的数量积以及二次函数的性质转化求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
 

17.【答案】解：设复数，则，
于是，即，
，解得，
故；
由得，，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得．
实数的取值范围是． 

【解析】设复数，则，代入足，整理后利用复数相等的条件列式求得，值，则可求；
由得，，再由实部与虚部都大于列不等式组求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

18.【答案】解因为，所以．
设向量与的夹角，
则
，解得．
又，所以，
故．
因为，
所以，
即，解得． 

【解析】本题主要考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，以及向量垂直的应用，属于中档题．
先代入数量积求出夹角的余弦，再根据同角三角函数基本关系式求解结论，
直接根据向量垂直的条件即可求得结论．
 

19.【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，，
则，
，
；
Ⅱ由正弦定理，以及，，，
可得；
Ⅲ由，及，可得，
则，
，
． 

【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
Ⅰ根据余弦定理即可求出的大小；
Ⅱ根据正弦定理即可求出的值；
Ⅲ根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
 

20.【答案】证明：：：：，
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上． 

【解析】本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是基础题，
推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面．
推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上．
 

21.【答案】解：在方向上的投影为，
由于在方向上的投影向量与共线，
可得所求向量为；
向量，，
，
，
向量，
，
解得；
，
，，
，，
，
． 

【解析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量，
由向量的坐标运算和向量的平行即可求出的值，
根据向量的坐标运算和向量的模即可求出．
本题考查了向量的坐标运算以及向量的平行和向量的共线，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：在中，，
则由正弦定理得，，，
，，，
又，得，由正弦定理可知，，
即，，由余弦定理有，则，
；
由知，，得，
又，，，
由正弦定理，则，，
，
由为锐角三角形，则且，
，，
的取值范围为． 

【解析】由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式与诱导公式可得，再利用正弦定理可得，由余弦定理可得，从而利用三角形面积公式可得结果；由余弦定理可得，结合，求得，由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，从而可得结果．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．