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第1章 特殊平行四边形 北师大版数学九年级上册单元测试(含答案)
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第一章学情评估一、选择题(每题3分,共30分)1.直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为( )A.5 B.10 C.15 D.202.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,对角线AC=3,则该菱形的周长为( )A.12 B.15 C.6+4 D.3+6 (第2题) (第3题) (第5题)3.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点C的坐标为(4,4),点D的坐标为(0,2),则点B的坐标是( )A.(8,2) B.(2,8) C.(4,2) D.(2,4)4.下列命题中,是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E在边BC上,连接DE,AE,若EA平分∠BED,则EC的长为( )A. B. C. D.4-6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AD=,AB=1,则∠BOC的度数为( )A.60° B.120°或60° C.120° D.30°或60° (第6题) (第7题)7.如图,△ABC中,∠BAC=90°,中线AF与中位线DE相交于点O,则四边形ADFE是( )A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形8.如图①,小强拿一张正方形的纸,沿虚线对折一次得图②,再对折一次得图③,然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角,再打开后的形状是( ) (第8题) (第9题) (第10题)9.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=3,BC=4,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )A. B. C. D.10.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,M,N为对角线BD上的两点,且满足DN=BM,连接AN,AM,则AM+AN的最小值为( )A.6 B.3 C.2 D.10二、填空题(每题3分,共15分)11.菱形有________条对称轴.12.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,还要添加________条件,才能保证四边形EFGH是矩形. (第12题) (第13题) (第14题) (第15题)13.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,且AD交EF于O,则∠AOF的度数是________.14.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是________.15.如图,矩形纸片ABCD中,AD=6,AB=8,点E在边DC上.将纸片沿AE折叠,点D落在点D′处.当点D′在对角线AC上时,DE的长为________.三、解答题(16题7分,17题8分,其余每题10分,共75分)16.如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”成立,并加以证明. 17.如图,延长平行四边形ABCD的边AD,AB,作CE⊥AB交AB的延长线于点E,作CF⊥AD交AD的延长线于点F,若CE=CF,求证:四边形ABCD是菱形. 18.如图,在正方形ABCD中,点E为CD边上一点,点F为AD延长线上一点,且DE=DF,则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由. 19.如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,E,G分别是AC,DC的中点,F为DE延长线上的点,∠FCA=∠CEG.(1)求证:AD∥CF;(2)求证:四边形ADCF是矩形. 20. 如图,DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD交DC于E.(1)求证:四边形AFED是菱形;(2)如果∠A=60°,AD=5,求菱形AFED的面积. 21.如图,已知AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠BCD.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)已知M为AD的中点,N为AB的中点,BN=2.若∠BNC=2∠DCM,求BC的长. 22.如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,点F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,连接BF,CE.(1)求证:四边形BECF是平行四边形.(2)当△ABC满足____________条件时,四边形BECF为菱形.(填写序号) ①AB=AC,②∠BAC=90°,③AB=BC,④∠BCA=90°. 23.综合与实践问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图①,将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图②所示的△AC′D,分别延长BC和DC′交于点E,则四边形ACEC′的形状是________;(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角β,使β=2∠BAC,得到如图③所示的△AC′D,连接DB,C′C,得到四边形BCC′D,发现它是矩形,请你证明这个结论.
答案一、1.D 2.A 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C二、11.2 12.AC⊥BD(答案不唯一) 13.90°14.3 15.3三、16.解:添加的条件是BE=DF(答案不唯一).证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABD=∠BDC.又∵BE=DF(添加),∴△ABE≌△CDF(SAS).∴AE=CF.17.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠CBE=∠A,∠CDF=∠A,∴∠CBE=∠CDF.∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠CEB=∠CFD=90°.在△CBE与△CDF中,∴△CBE≌△CDF,∴CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.18.解:AE=CF,AE⊥CF,理由如下:如图,延长AE交CF于点G. ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=∠CDF=90°.在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF,∴AE=CF,∠DAE=∠DCF.∵∠DCF+∠F=90°,∴∠DAE+∠F=90°,∴∠AGF=90°,∴AG⊥CF,即AE⊥CF,∴AE=CF,AE⊥CF.19.证明:(1)∵E,G分别是AC,DC的中点,∴EG是△ACD的中位线.∴EG∥AD.∵∠FCA=∠CEG,∴EG∥CF.∴AD∥CF.(2)由(1)得AD∥CF,∴∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠CFE.∵E是AC的中点,∴AE=CE.∴△ADE≌△CFE.∴AD=CF.∴四边形ADCF是平行四边形.∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.∴平行四边形ADCF是矩形.20.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DE∥AF.∴∠EDF=∠AFD.∵EF∥AD,∴四边形DAFE是平行四边形,∵DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线,∴∠ADF=∠EDF,∴∠AFD=∠ADF,∴AD=AF,∴四边形AFED是菱形.(2)解:∵∠A=60°,AD=AF,∴△AFD为等边三角形,∴DF=5.连接AE与DF相交于O.∵四边形AFED是菱形,∴OF=DF=,DF⊥AE,∴OA==,∴AE=5 ,∴S菱形AFED=AE·DF=.21.(1)证明:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∠B+∠BCD=180°.∵∠B=∠BCD,∴∠B=∠BCD=90°,∴四边形ABCD为矩形.(2)解:如图,延长BA,CM交于点E.∵M为AD的中点,N为AB的中点,∴AN=BN=2,AM=MD,∴AB=CD=4.∵AE∥DC,∴∠E=∠DCM.在△AEM和△DCM中,∴△AEM≌△DCM,∴AE=CD=4.∵∠BNC=2∠DCM=∠E+∠NCE,∴∠NCE=∠DCM=∠E,∴CN=EN=AE+AN=4+2=6,∴BC===4 .22.(1)证明:∵CF∥BE,∴∠EBD=∠FCD.∵D是BC边的中点,∴BD=CD.∵∠BDE=∠CDF,BD=CD,∠EBD=∠FCD,∴△BDE≌△CDF,∴CF=BE,∴四边形BFCE是平行四边形.(2)①23.(1)菱形(2)证明:作AM⊥CC′于点M.由旋转得AC′=AC,则∠CAM=∠C′AM=β=∠BAC.∵题图①中四边形ABCD是菱形,∴BA=BC,∴∠BCA=∠BAC,∴∠CAM=∠BCA,∴AM∥BC,同理AM∥DC′,∴BC∥DC′.又易知BC=DC′,∴四边形BCC′D是平行四边形.∵AM⊥CC′,∴∠C′MA=90°,∵AM∥BC,∴∠BCC′=∠C′MA=90°,∴四边形BCC′D是矩形.
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