第1章 特殊平行四边形素养集训3 正方形性质与判定的灵活运用 作业课件

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素养集训 第一章　特殊平行四边形1．正方形性质与判定的灵活运用1．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠DCM＝∠A＝90°.∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°.∴F，C，M三点共线．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°.又∵DF＝DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)．∴EF＝FM.(2)当AE＝1时，求EF的长．2．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；【点方法】由中位线定理得出GF∥EC，FH∥BE，从而确定四边形EGFH的形状．证明：∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC.同理，FH∥BE.∴四边形EGFH是平行四边形．(2)EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？并说明理由．【点方法】连接CH，则根据等腰直角三角形斜边上的中线的性质可判断出EF与BC的关系．3．【2022·中国科技大学附属中学月考】如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC＝PE；【点方法】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴PA＝PC.又∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)求∠CPE的度数；解：∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠FCP＝∠E.∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，∴∠CPE＝∠EDF＝90°.(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变．当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．解：AP＝CE.理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°.∴∠EDF＝60°.由(2)可得∠CPE＝∠EDF＝60°.又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．∴PE＝CE.又∵PA＝PE，∴AP＝CE.