2021-2022学年山东省威海市经开区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省威海市经开区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若方程是关于、的二元一次方程，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是(    )

A. 全等三角形的对应角都相等
B. 如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等
C. 对顶角相等
D. 等边三角形每一个都等于

3. 在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线交点，连接，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且个车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮秒，黄灯亮秒，红灯亮秒循环显示．小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，中，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是(    )

A. 从一个装有个白球和个红球的不透明袋子中任意摸出一球小球除颜色外，完全相同，摸到红球的概率
B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
C. 从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数的概率

9. 在中，，，，是射线上一动点，当时，的长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 的三边分别为、、，满足，，则这个三角形有一个角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 对于二元一次方程组，我们把，的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将，则得到矩阵，用加减消元法可以消去，如解二元一次方程组时，我们用加减消元法消去，得到的矩阵应是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是______个．
14. 如图，把沿线段折叠，使点落在线段上的点处，，若，则______．

15. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是______．

16. 我们知道方程组的解是现给出另一个方程组，它的解是______．
17. 如图，中，，的三条内角平分线交于点，于，若，，则的周长是______．

18. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程组：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，已知，．
    求证：．

21. 本小题分
    如图，中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点．
    求证：；
    连接，求证：垂直平分．

22. 本小题分
    北京时间年月日上午时许，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，南开中学航天兴趣小组在学校随机调查了初一和初二两个年级的部分学生对中国航天事业的关注程度，并对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图图，图请根据图中信息，解答下列问题：
    
    本次调查的总人数为______人，扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数为______；
    补全条形统计图；
    在、两个等级中，有人来自初一年级，现随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，求抽中的学生来自初二年级的概率．
23. 本小题分
    某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元．这两种服装的进价、标价见下表．
    这两种服装各购进多少件？
    如果种服装按标价的折售出、种服装按标价的折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？

24. 本小题分
    如图，已知等腰，，，于点，点是线段上一点，点是延长线上一点，且．
    当点与点重合时，即，如图，求的度数；
    求证：；
    求证：．
     

25. 本小题分
    在四边形中，，平分．
    【感知】如图，若，则，易证．
    【探究】如图，若，猜想和的数量关系，并给予证明．
    【应用】如图，若，，，则______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
【解答】
解：方程是关于、的二元一次方程，
．
解得：．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：、“全等三角形的对应角都相等”的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以选项错误；
B、“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题，所以选项错误；
C、“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角为对顶角，此逆命题为假命题，所以选项错误；
D、“等边三角形每一个都等于”的逆命题为等每一个都等于的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，所以选项正确．
故选：．
先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、对顶角的定义和等边三角形的判定方法判断四个逆命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

3.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：该玩具厂共有名生产工人，
；
生产车轮的总数量是车架总数量的倍，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“该玩具厂共有名生产工人，且生产车轮的总数量是车架总数量的倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：小明一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率为，
故选：．
直接由概率公式求解即可．
此题考查的是概率公式，熟记概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了翻折变换折叠问题，以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键，由折叠的性质得到，再利用三角形外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】
解：由折叠的性质得：，
根据三角形外角性质得：，，
则，
则．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
根据折叠的性质，，，
，
，
，，
．
故选：．
根据折叠的性质，，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知，．
本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、从一个装有个白球和个红球的不透明袋子中任意摸出一球小球除颜色外，完全相同，摸到红球的概率为，故此选项符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项不符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：

当在线段上时，，，，
，
，
当在线段外时，，，，
，
，
故选：．
根据两种情况画出图形，利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查直角三角形的性质和勾股定理，关键是根据两种情况画出图形解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：的三边分别为、、，满足，
为直角三角形，且，
，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
先由，根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，再由，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，可得矩阵：
，
用加减消元法可消去．
故选：．
根据题意，可得矩阵，进而可以加减法消去．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知加减消元法．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
，，
．
的最小值是．
故选B．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和，
所以摸到蓝球的概率为，
因为个，
所以可估计袋中蓝色球的个数为个．
故答案为．
利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
把沿线段折叠，使点落在点处，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质等知识点，能根据折叠的性质得出是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
所以点坐标为，
所以关于、的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
把，看作整体，则，解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，体现了整体思想，也可以通过换元法来解方程组，把，看作整体是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点是三角形三条角平分线的交点，于点，
点到三边的距离等于的长，
，
，
即，
，
故答案为：．
首先根据点是三角形三条角平分线的交点，于点得到点到三边的距离等于的长，然后根据面积求得周长即可．
本题考查了三角形的角平分线的性质，解题的关键是了解角平分线的交点到三边的距离相等，难度不大．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为．

如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
．
故答案为：或．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
 

19.【答案】解：，
得，，
得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
所以方程组的解为；
化简方程组得，
得，，
得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
所以方程组的解为． 

【解析】根据方程组中方程的特点，运用加减消元法解答即可；
先化简方程组，然后运用加减消元法解答即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
 

20.【答案】证明：已知，
邻补角的定义，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
又已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补． 

【解析】利用邻补角的定义，平行线的判定定理和性质定理可得结论．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
即；
≌，
，
，
，点在的垂直平分线上，
，
即，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分． 

【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质求解即可；
根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的判定求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为人，
扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：、；
对应人数为人，
补全条形图如下：

、两个等级中共人，人来自初二年级，随机抽取一名，抽中的学生来自初二年级的概率．
由类型人数及其所占百分比可得总人数，再用乘以类型人数所占比例即可；
总人数减去、、人数求出类型人数，根据以上所求数据即可补全图形；
、两个等级中共人，有人来自初一年级，则人来自初二年级，用概率公式求概率即可．
本题考查了扇形统计图，条形统计图、概率公式等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设购进种服装件，种服装件，
依题意得：，
解得：，
答：购进种服装件，种服装件．



元．
答：服装店比按标价售出少收入元． 

【解析】设购进种服装件，种服装件，根据“某服装店用元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用少收入的钱数每件种服装少挣的钱数销售数量每件种服装少挣的钱数销售数量，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图：

，，
，
于点，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
证明：，，
，
，，
垂直平分，
连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，，，
，
，，
由得，再根据对顶角相等可得
，
，
为等边三角形，
，
在边上取一点，使得，
为等边三角形，
，
，，，
在和中，

，
，
． 

【解析】本题是三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键．
根据等腰三角形性质结合已知条件证明，由此可得，再证明是等边三角形，然后再求角即可；
连接，证明，再证明，又由，即可证明；
在边上取一点，使得，先证明和为等边三角形．再证明，即可求证．
 

25.【答案】 

【解析】解：感知：是的平分线，
，
在和中，，
≌，
；

探究：如图，过点作于，于，
，
平分，
，
，
，
≌，
；
应用：如图，
过点作于，于，
，
四边形是矩形，
同探究知，≌，
，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
故答案为．
感知：利用判断出≌，即可得出结论；
探究：先判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
应用：先判断出数学是正方形，进而求出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．