新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 再练一课(范围：§3.2) (含解析)

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再练一课(范围：§3.2)1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝   B．y＝|x|－1C．y＝   D．y＝－x2答案　B解析　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A.  B．－  C．－2  D．2答案　A解析　易知f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是(　　)A．f(1)>f(2)   B．f(1)>f(－2)C．f(－1)>f(－2)   D．f(－1)<f(2)答案　D解析　∵当x≥0时，f(x)＝x＋1单调递增，∴f(1)<f(2)，又∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴D对．4．(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　　)A．有最大值4   B．有最小值－4C．有最大值3   D．有最小值－3答案　BC解析　方法一　根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选BC.方法二　当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.5．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上单调递增，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)A．[－3,3]   B．[－2,4]C．[－1,5]   D．[0,6]答案　B解析　因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f(x)在[－6,0]上单调递增，得f(x)在[0,6]上单调递减．故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.6．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________________．答案　(－2,0)∪(2,5]解析　∵f(x)为奇函数，∴画出f(x)在x轴左侧的图象如图所示，当－2<x<0或2<x≤5时，f(x)<0.7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．答案　－3或解析　f(x)的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.综上，a＝或a＝－3.8．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．答案　2－6解析　当x≤1时，f(x)min＝0，当x>1时，f(x)min＝2－6，当且仅当x＝时取到最小值，又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)解　∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上单调递增，∴f ＝，f(2)＝2，易得a＝.10．已知函数f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．(1)证明　设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)解　设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围为0<a≤1.11．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　D解析　当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2；当a<0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．奇函数f(x)满足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则<0的解集为(　　)A．(－1,1)   B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)∪(－1,0)答案　D解析　由于函数f(x)是奇函数，因此原不等式可化为x2f(x)<0，即f(x)<0，因为f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以x>1或－1<x<0.13．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．答案　[3，＋∞)解析　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．14．已知函数f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－2)解析　二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，所以－x2－2x＋3<3，所以f(x)在R上单调递减，所以由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x<a在[a，a＋1]上恒成立，所以2(a＋1)<a，a<－2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f ＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f ＋f ＝________.答案　解析　由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.由②，令x＝1，可得f ＝f(1)＝.令x＝，可得f ＝f ＝.由③结合f ＝，可知f ＝，令x＝，可得f ＝f ＝，因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，所以f ＝，所以f ＋f ＝.16．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．解　f(x)＝42－2a＋2，①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.②当0<<2，即0<a<4时，f(x)min＝f ＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a＝－∉(0,4)，舍去．③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.综上所述，a＝1－或a＝5＋.