新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.1.2 第2课时 分段函数(含解析)

第2课时　分段函数

学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．

知识点　分段函数

1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

思考　分段函数是一个函数还是几个函数？

答案　分段函数是一个函数，而不是几个函数．

1．分段函数由几个函数构成．(　×　)

2．函数f(x)＝是分段函数．(　√　)

3．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　√　)

4．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　×　)

一、分段函数求值

例1　已知函数f(x)＝

(1)求f(－5)，f(1)，f ；

(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．

解　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，

f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f 

＝f ＝3×＋5＝.

(2)因为a2＋2≥2，

所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，

所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，

解得a≥1或a≤－，

即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．

(教师)

延伸探究

1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．

解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，

即a＝2>－2，不合题意，舍去；

当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，

即a＝－∈(－2,2)，符合题意；

当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，

即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.

2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．

解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，

即x<1，所以x≤－2；

当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x，

即x>－5，所以－2<x<2；

当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅.

综上可得，x的取值范围是{x|x<2}．

(学生)

反思感悟　(1)分段函数求值的方法

①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．

跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)

A．－  B．2  C．4  D．11

答案　C

解析　由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，

则f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.

(2)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.

答案　－或10

解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，

∴x0＝－或x0＝(舍去)；

当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.

综上可知，x0＝－或x0＝10.

二、分段函数的图象及应用

例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．

(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域．

解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，

∴φ(x)的值域为(－∞，1]．

(学生)

反思感悟　分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

跟踪训练2　设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．

答案　{y|y≤2}

解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；

当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；

当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.

故y＝

根据函数解析式作出函数图象，如图所示．

由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．

三、分段函数的实际应用

例3　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，

AB＝2cm，

又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.

(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；

(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，

y＝×2＝2x－2；

(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，

y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF

＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.

综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为

y＝

图象如图所示．

(学生)

反思感悟　分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．

跟踪训练3　一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．

(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．

解　(1)阴影部分的面积为

50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.

阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.

(2)根据图象，有s＝

相应的图象如图所示：

1．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

答案　B

解析　方法一　函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.

方法二　由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D.

2．著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则D等于(　　)

A．0   B．1

C.   D.

答案　B

解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D＝1.

3．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.

答案　1

解析　f(2)＝＝1.

4．函数y＝的定义域为________，值域为________．

答案　(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)

解析　定义域为各段的并集，即(－∞，0)∪(0，＋∞)．

因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集，

所以函数的值域为{－2}∪(0，＋∞)．

5．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．

答案　

解析　当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；

当－1<x<2时，x2＝3得x＝或x＝－(舍去)．

1．知识清单：

(1)分段函数的概念及求值．

(2)分段函数的图象及应用．

2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．

3．常见误区：

(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．

(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．

1．设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)

A.  B．3  C.  D.

答案　D

解析　∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝2＋1＝.

2．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　)

答案　C

解析　由题意知f(x)＝

则f(x)的图象为C中图象所示．

3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)

答案　B

解析　根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.

4．设函数f(x)＝若f ＝4，则b等于(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案　D

解析　f ＝f ＝f .

当－b<1，即b>时，3×－b＝4，

解得b＝(舍去)．

当－b≥1，即b≤时，2×＝4，

解得b＝.

5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)

A．13立方米   B．14立方米

C．18立方米   D．26立方米

答案　A

解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝

由y＝16m，可知x>10.

令2mx－10m＝16m，解得x＝13.

6．已知f(x)＝则f ＋f ＝________.

答案　4

解析　∵f(x)＝

∴f ＝f ＝f 

＝f ＝f ＝×2＝，

f ＝2×＝，

∴f ＋f ＝＋＝4.

7．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

答案　(－1,1)　(－1,1)

解析　定义域为各段的并集，

即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．

值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．

8．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________________．

答案　f(x)＝

解析　由题图可知，图象是由两条线段组成，

当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，

将(－1,0)，(0,1)代入解析式，

则∴

当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，

将(1，－1)代入，则k＝－1.

∴f(x)＝

9．已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．

(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；

(2)画出函数f(x)的图象；

(3)写出函数f(x)的值域．

解　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，

当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.

所以f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．

(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

10．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元．

(1)请写出y关于x的函数关系式；

(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？

解　(1)由题意，

得y＝

(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，

∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，

解得x＝6 800.

故这名职工八月份的工资是6 800元．

11．设f(x)＝则f(5)的值是(　　)

A．24  B．21  C．18  D．16

答案　A

解析　f(5)＝f(f(10))，

f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，

f(5)＝f(21)＝24.

12．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

答案　－

解析　当a>0时，1－a<1,1＋a>1，

∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．

当a<0时，1－a>1,1＋a<1，

∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.

13．已知函数f(x)＝则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为______________．

答案　

解析　由题意可得或

由解得1≤x<；

由解得x<－或<x<1.

综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为.

14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．

答案　(－∞，1]

解析　由题意得f(x)＝

画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．

15．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是(　　)

A．∅   B．[0,2]

C．[－2,0]   D．{－1}∪[0,2]

答案　D

解析　当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2，

当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，

解得x＝－1，满足条件，

综上有0≤x≤2或x＝－1.

16．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？

(3)第一次休息时，离家多远？

(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？

(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？

(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？

解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．

(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．

(3)第一次休息时，离家17千米．

(4)11∶00至12∶00他骑了13千米．

(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14 千米/时．

(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．