备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三)　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时验收评价(三)　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．(2022·马鞍山三模)命题p：∀x∈，x>sin x，则命题綈p是(　 )

A．∀x∈，x≤sin x

B．∀x∉，x>sin x

C．∃x0∈，x0≤sin x0

D．∃x0∈，x0>sin x0

答案：C

2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　 )

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案：C

3．下列命题中的假命题是(　 )

A．∃x∈R，lg x＝0  B．∀x∈R，x2>0

C．∃x∈R，tan x＝1  D．∀x∈R,3x>0

答案：B

4．已知命题p：若α∥β，a∥α，则a∥β； 命题q：若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b，下列是真命题的是(　 )

A．p∧q  B．p∨(綈q)

C．p∧(綈q)  D．(綈p)∧q

解析：选D　若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故p为假，綈p为真；若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b，正确，故q为真，綈q为假，所以(綈p)∧q为真，故选D.

5．(2023·宜宾模拟)以下三个命题：

①“x>2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要条件；

②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

③对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p是：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.

其中正确的个数是(　 )

A．1  B．2 

C．3  D．0

解析：选B　①不等式x2－3x＋2≥0，解得x≥2或x≤1，∵{x|x>2}{x|x≥2或x≤1}，∴x>2⇒x2－3x＋2≥0，x2－3x＋2≥0x>2，“x>2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要条件，①正确；②若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假，故②错误；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0的否定綈p为∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0，③正确，故选B.

6．(2023·漳州第一中学高三阶段练习)已知命题p：∀x∈R，tan2x≥0；命题q：∃x∈R，＝－x，则下列说法正确的是(　 )

A．p与q均为真命题  B．p与q均为假命题

C．p与綈q均为真命题  D．綈p与q均为真命题

解析：选D　当x＝kπ＋(k∈Z)时，tan x的值不存在，所以命题p是假命题，当x＝0时，＝－x＝0，所以命题q为真命题，所以綈p与q均为真命题．

7．下列命题为真命题的是(　 )

A．∃x0∈R，ln(x＋1)<0

B．∀x>2,2x>x2

C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝

解析：选C　∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln 1＝0，故A为假命题；当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，故C为真命题；sin x0＋cos x0＝sin∈[－，]，∴sin x0＋cos x0≠，故D为假命题．

8．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－3)

C．(－3,1)

D．(1，＋∞)

解析：选A　依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1，故选A.

9．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　 )

A．p∧q  B．綈p∧q

C．p∧綈q  D．綈(p∨q)

解析：选A　对于命题p，因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x<1，故p为真命题．对于命题q，∀x∈R，e|x|≥e0＝1，从而q为真命题．所以p∧q为真命题，綈p∧q，p∧綈q，綈(p∨q)均为假命题．故选A.

10．给出下列四个说法：

①命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，3x0≤x”；

②“若θ＝，则cos θ＝”的否命题是“若θ≠，则cos θ≠”；

③若p∨q是真命题，则命题p，q一真一假；

④“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．

其中正确说法的个数为(　 )

A．1  B．2  C．3  D．4

解析：选B　对于①，根据全称命题的否定，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠，则cos θ≠”，所以②正确；对于③，若p∨q是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y＝2x＋m－1有零点，得1－m＝2x>0，解得m<1，若函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，则0<m<1，所以④错误．综上，正确说法的个数为2，故选B.

11．已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，0]∪(1，＋∞)

C．[0,1]

D．(0,1)

解析：选D　命题p是假命题⇔綈p是真命题⇔对任意x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立⇔Δ＝4a2－4a<0⇔0<a<1，故选D.

12．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________．

解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．

答案：存在正数x0, ≤x0＋1

13．若“∀x∈，m≥2tan x”是真命题，则实数m的最小值为________．

解析：当x∈时，2tan x的最大值为2tan＝2，所以m≥2，实数m的最小值为2.

答案：2

14．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．

解析：由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；当命题q真时，Δ＝4－4m<0，解得m>1.所以所求的m的取值范围是(1,2)．

答案：(1,2)

15．下列命题是真命题的是________．(填序号)

①∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；

②∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数；

③∀x∈R，x4<x5；

④∃x0∈R，x－2x0＋1≤0.

解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故①为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故②为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故③为假命题；x－2x0＋1＝(x0－1)2，当x0＝1时，x－2x0＋1＝0，故④为真命题．

答案：①④