备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节 对数与对数函数

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节 对数与对数函数，共17页。试卷主要包含了对数的性质、运算性质与换底公式，对数函数及其性质，反函数，3＜lg21＝0，∴a＜0，计算等内容，欢迎下载使用。

第6节　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.


1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).




(2)对数函数的图象与性质

a>1
0 图象


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0 当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.
(4)若0 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案　C
解析　由题意知，4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
3.(2021·天津卷)设a＝log2 0.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案　D
解析　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.
∵log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1，
∴b＞1.
∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b.
4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
答案　(2，2)
解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).
5.(易错题)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案　4
解析　∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，
∴即
则x＝4y>0，∴＝4.
6.若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
答案　2或
解析　当0 当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x)max＝f(4)，f(x)min＝f(2)，则f(4)－f(2)＝loga2＝1，解得a＝2.

考点一　对数的运算
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.
法二　因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝.
2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
答案　A
解析　依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)＝25.25.
所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.
3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　)
A.－1 B.lg 7 C.1 D.log710
答案　C
解析　∵2a＝5b＝10，
∴a＝log210，b＝log510，
∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5
＝lg 10＝1.
4.计算：＝________.
答案　1
解析　原式＝

＝
＝＝＝＝1.
感悟提升　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点二　对数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
(2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0
感悟提升　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A.a>1，c>1
B.a>1，0 C.01
D.0 (2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
答案　(1)D　(2)(1，＋∞)
解析　(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0 (2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

考点三　解决与对数函数的性质有关的问题
角度1　比较大小
例2 (1)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若实数a，b，c满足loga2 A.a C.c (3)(2021·衡水中学检测)已知a＝，b＝log0.2，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a C.a 答案　(1)D　(2)C　(3)B
解析　(1)∵01.∴c>a>b.
(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log2c 可得c (3)函数y＝与y＝logx的图象关于直线y＝x对称，则0<<1 又c＝ab＝＝＝0.20.2<＝a，所以b>a>c.
角度2　解对数不等式
例3 (1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.
(2)不等式loga(a2＋1) 答案　(1)(－∞，－2)∪　(2)
解析　(1)设x<0，则－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，
∴f(x)＝
当x>0时，f(x)<－1，即log2x<－1＝log2，解得0 当x<0时，f(x)<－1，即－log2(－x)<－1，
则log2(－x)>1＝log22，解得x<－2.
当x＝0时，f(x)＝0<－1显然不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪.
(2)由题意得a>0且a≠1，
故必有a2＋1>2a.
又loga(a2＋1) 所以2a>1，即a>.
综上， 角度3　对数型函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.
解　(1)若函数f(x)是R上的奇函数，
则f(0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.
所以a＝0.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，
则＋a>0恒成立.
即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.
由题设得log2(1＋a)－log2≥2，
则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).
∴解得－ 故实数a的取值范围是.
感悟提升　1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
训练2 (1)(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c C.b (2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为________.
(3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　(1)A　(2)[1，2)　(3)
解析　(1)显然c＝0.30.2∈(0，1).
因为log33 因为log27>log24＝2，所以a>2.
故c (2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，
要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即
解得1≤a<2，即a∈[1，2).
(3)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，
即8－2a>a，且8－2a>0，解得1 当0 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为∅.
综上可知，实数a的取值范围是.


1.已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)
A.d＝ac B.a＝cd
C.c＝ad D.d＝a＋c
答案　B
解析　∵log5b＝a，lg b＝c，∴5a＝b，10c＝b.
又∵5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，
∴a＝cd.
2.(2021·濮阳模拟)已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
答案　D
解析　由题意可知3x＋＋m能取遍所有正实数.
又3x＋＋m≥m＋4，
所以m＋4≤0，即m≤－4.
∴实数m的取值范围为(－∞，－4].
3.若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　A
解析　由于f(x)＝|x|＋x3，
得f(－x)＋f(x)＝2|x|.
又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A.c C.a 答案　C
解析　a＝log52 5.在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　D
解析　若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C项不符合，因此0 当0 6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：
①f(x)的图象关于原点对称；
②f(x)的图象关于y轴对称；
③f(x)的最大值为0；
④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.
其中正确的是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案　C
解析　f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
∴①错误，②正确；
根据f(x)的图象(图略)可知④错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.
7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.
答案　－7
解析　令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.
8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.
答案　4
解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
9.函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________.
答案　－
解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1 解　(1)当x<0时，－x>0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为－1 所以loga ①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；
②当0 解得0 综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).
11.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.
解　(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以log2＝－log2，
即log2＝log2，
所以a＝1，f(x)＝log2，
令>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，
所以log2(1＋x)>log22＝1.
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].

12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　)
A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h
答案　B
解析　由已知得1－＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln ＝－10k，所以k＝≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则＝e－0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln ＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.
13.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，1) B.(0，1]
C.(1，2) D.(0，2]
答案　D
解析　作出函数y＝f(x)的图象(如图)，

方程f(x)－a＝0有两个实数根，
即y＝f(x)与y＝a有两个交点，
由图知，0 14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.
已知函数f(x)＝log2(＋x)(a∈R)满足________.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－，证明：g(x2－x)≤.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　若选择②f(x)－f(－x)＝0，
因为f(x)－f(－x)＝0，
所以log2(＋x)－log2(－x)＝0，
所以＋x＝－x，
所以x＝0，a≥0，
此时求不出a的具体值，所以不能选②.
若选择①f(x)＋f(－x)＝0，
(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以log2(＋x)＋log2(－x)＝0，
所以log2[(＋x)(－x)]＝0，
所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.
若选择③f(－2)＝－f(2)，
(1)因为f(－2)＝－f(2)，
所以log2(－2)＝－log2(＋2)，
所以(－2)(＋2)＝1，
所以4＋a－4＝1，所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝log2(＋x)，
f(－x)＝log2(－x)，
所以g(x)＝2log2(－x)＋1－
＝－x＋1－
＝－x＋1，
所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1
＝－x2＋x＋1
＝－＋≤.