北京市北师大实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试卷

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北师大实验中学2022-2023学年初三下
数学测试
（满分：100分时间：120分钟）
一、选择题：（每小题2分，共16分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：的相反数是2，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，熟练掌握该定义是解题的关键．
2. 北京故宫有着近六百年历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为（　　）
A. 0.19×108 B. 0.19×107 C. 1.9×107 D. 19×106
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．
【详解】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是北京大兴国际机场俯视图的示意图.下列说法正确的是（ ）

A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，根据中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可判断得出答案．
【详解】由图可知，图形关于中间轴折叠能完全重合，
此图形是轴对称图形，
但绕中心旋转180°后，图形不能完全重合，
此图形不是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4. 一元二次方程的解的情况是（ ）
A. 方程有且只有一个实根 B. 方程有两个相等实根
C. 方程有两个不等实根 D. 方程无实根
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的值，再比较出其与的大小即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，，，
∴，
∴一元二次方程有两个相等实根，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5. 实数、在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，取符合条件的特殊值进行计算再比较即可．
【详解】解：根据数轴可以知道，令，可知，
A. ，即，故此选项错误；
B.，即，故此选项错误；
C.，即，故此选项错误；
D. ，两边同时乘以得，即，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及大小比较问题， 熟练掌握实数大小比较方法是解题的关键．
6. 如图， 与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于圆的习题只要提到切线，就必须构造半径的切线形成的直角，已知条件欲求也就是求，在中，根据直角三角形的特殊性质即可求出，最后解出．
【详解】解：连接

与相切于点


又和是圆的半径，

在中，



故答案选．
【点睛】本题主要考查的是圆的切线性质定理推论和直角三角形的特殊性质．涉及到知识点有等腰三角形的性质．解题过程中能否通过切线性质和直角三角形特殊性质求出角度是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，是正方形边上的线段，点在其中某条线段上，若射线与轴正半轴的夹角为，且，则点所在的线段可以是　　

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】分情况考虑：先考虑点M分别在边PQ上的线段AB和CD上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可；再考虑点M分别在边QR上的线段EF和GH上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可．
【详解】如图，当点在线段上时，连接．

，，，
，
同法可证，点在上时，，
如图，当点在上时，作于．

，，，
，
同法可证，点在上时，，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形性质，三角函数中正弦和余弦的定义，涉及到分类讨论，关键是构造直角三角形，从而可在直角三角形中利用正余弦的定义进行．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，由点为中点，取点，连接，根据点到圆的距离的最值问题求得三点共线时取得最小值，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取点，点，连接，

依题意，，
∴，
∵，得出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
∴三点共线时取得最小值， 最小值为，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角相等，中位线的性质，勾股定理，坐标与图形，点到圆的最值问题，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键．
二、填空题：（每小题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥-1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+1≥0，
∴x≥-1．
故答案为：x≥-1．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．

10. 分解因式：=_________________________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：原式==，故答案为．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
11. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．
【详解】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意可列方程组为，
故答案为：．
【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．
12. 若一个多边形的每个外角都是，则该多边形的边数为________.
【答案】18
【解析】
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【详解】解：，故该多边形的边数为18．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是掌握任何多边形的外角和都是．
13. 一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据题意得到，然后将代入求解即可．
【详解】∵一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为，
∴，
∵经过点，
∴，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解方法，根据题意求出k的值是解题的关键．
14. 矩形纸片中，厘米，厘米，按图中方式折叠，使点与点重合，折痕为，则________厘米．

【答案】
【解析】
【分析】根据四边形为矩形，得出，根据折叠可知，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知，，
设，则，
根据勾股定理可知，，
即，
解得：，
即厘米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理列出关于x的方程．
15. 如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接与交于点，则的值是______．

【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，结合题意即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴∆ABF~∆CEF，
∴，
∵DE=DC，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
16. 抛物线的图像如图所示，则下列结论中正确的有________.

①；②；③；④
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】根据图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置即可判断①，根据抛物线经过点即可判断②，根据，即可判断③，根据和即可判断④．
【详解】解：∵函数图象开口向上，
则，
∵对称轴在y轴左侧，，
∴a与b同号，即，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵函数图象经过点，
∴把点代入得，
即，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故③错误；
由图象可知当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，故④正确，
综上可知，②④正确，
故答案为：②④
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
三、解答题：（第17~22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分，共68分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解不等式组 ．
【答案】-2 【解析】
【分析】根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再判断其公共解集，即为所求.
【详解】解不等式组 ．
解不等式①得，
解不等式②得x，
∴原不等式组的解集为-2 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解题的关键.
19. 先化简,再求值:,其中,.
【答案】原式=;1
【解析】
【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
试题解析：原式=
=
=，
当，时，
原式=．
考点：分式的化简求值．
20. 我们在课上曾学习过等腰三角形三线合一；等腰三角形的底边中线、底边高线、顶角角平分线重合，如果某个三角形的一边中线、高线及其对角的角平分线中，有两条线重合，也可以证明这个三角形是等腰三角形，请你选择下面一种情况，写出证明过程．

①已知：如图，在中，于D，，
求证：．
②已知：如图，在中，于，平分，
求证：．
③已知：如图，在中，是中点，平分，
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】①根据中垂线线的性质，即可得证；②证明三角形，即可得证；③作于，于，利用中线平分面积，利用等积法进行证明即可．
【详解】①证明：∵在中，于D，，
∴垂直平分，
．
②证明：于，
，
平分，
，
又，
（），
；
③证明：作于，于，

平分，
，
是中点，

即，
．
【点睛】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．

（1）求证：四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交EC于G，若DF＝2，CD，求AD的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理可得EF=AB，EF∥AB，CF=BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得DG=1，DF⊥CE，EG=GC，由勾股定理可得EG=GC=，可求AG=AE+EG=4，由勾股定理可求AD的长．
【小问1详解】
证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF=AB，EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵AB=BC=2CD，
∴EF=CF=CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF，
∴四边形CDEF为菱形；
【小问2详解】
解：如图，DF与EC交于点G，

∵四边形CDEF为菱形，DF=2，
∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，
∴EG=GC=，
∴AE=CE=2EG=，
∴AG=AE+EG=4，
∴AD=．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，直线经过点，．
（1）求和的值：
（2）将点向右平移到轴上，得到点，设点关于原点的对称点为，记线段与线段为图形．若双曲线与图形恰有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把B的坐标代入即可求得b，然后代入，即可求得m，得出；
（2）根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；函数的图象经过点A，，函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，根据图象即可求得k的取值范围．
【小问1详解】
解：∵直线经过点，
∴
，
直线的解析式为，
又直线经过点，
；
【小问2详解】
解：由（1）得：点，
，将点B向右平移到y轴上，得到点C，
，点B关于原点的对称点为；

函数的图象经过点A，，
函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，
由图象可知：k的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，数形结合结合思想的运用是解题的关键．
23. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，， ，）：

b．甲学校学生成绩在这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78

根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选．
【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5
【解析】
【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；
（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可．
【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
∴中位数为：
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（3）根据题意，90-100分的人数为为：人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，解得x=3，
而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
24. 如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直角三角形性质可得，从而得到，再由，可得，即可；
（2）连接，根据直径，可得，从而得到，进而得到，由勾股定理可得，再由，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

，
，
是中点，，
，
，
∴，
又，
，
即是的切线；
【小问2详解】
解：连接，

是直径，
，
，
的半径为5，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
又，
，
∴．
【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解本题的关键．
25. 我国著名科学家钱学森于20世纪40年代提出了一种新型导弹弹道设想，即“助推-滑翔”弹道，这种弹道可以让导弹在大气层中“打水漂”（如下图），从而达到节省燃料，增加射程的目的，而且钱学森弹道在俯冲的最后阶段，弹速可达音速的20倍，雷达几乎无法捕捉.

小明借鉴灵感改装了模型飞机.设飞机飞行时间为秒，对应飞行高度为米，测量数据得：

0
1
2
3
4
8
16
40
41
42
43
44

0
5
8
9
8
4
2
0.8
0.75
0.6
0.35
0

（1）根据所给数据，画出与的函数图像；

（2）利用初中所学的函数知识分析图像，那么该函数图像可以分为______段来研究；
（3）请你选择（2）中的一段图像，用解析式法来表示与的函数关系，并注明自变量范围.
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）（写出其中一个即可）
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据描点，然后再连线，画出函数图像即可；
（2）根据画出的函数图像进行分析即可得出答案；
（3）根据待定系数法求出函数关系式即可．
【小问1详解】
解：与的函数图像，如图所示：
【小问2详解】
解：根据函数图像可知，当时，该函数图像为二次函数图像，
当时，该函数图像为反比例函数图像，
当时，该函数图像为二次函数图像，
因此该函数图像可以分为3段来研究；

故答案为：3；
【小问3详解】
解：当时，设该函数图像的关系式为，，，分别代入得：
，解得，
∴此时函数解析式为；
∴此时函数解析式为；
当时，设该函数图像的关系式为，把代入得：，
∴此时函数解析式为；
当时，设该函数图像的关系式为，把把，，分别代入得：
，解得，
∴此时函数解析式．
∴．
【点睛】本题主要考查了画函数图像，求函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．
26. 已知：抛物线过点.
（1）用含代数式表示；
（2）若抛物线与轴的另一个交点为点，且点在点的左侧，求的取值范围；
（3）若，点、、在抛物线上，请比较、、的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）将代入即可求解；
（2）解一元二次方程，根据题意得出不等式，解不等式即可求解．
（3）根据题意得出对称轴，进而根据二次函数图象的性质即可求解．
【小问1详解】
将代入，
得；
【小问2详解】
，
∴，
解得：，，
点在点左侧，
，
解得；
【小问3详解】
抛物线对称轴为：直线，
，
，
点关于对称轴对称的点为，
点关于对称轴对称的点为，
又点，，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
又，抛物线开口向下，
.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 如图，在中，，，在线段上取点，作于，连接，点是中点，连接.

（1）求线段与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）将绕点顺时针旋转（）；
①在（1）中线段的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论；
②若点是的重心，直接写出的值.
【答案】（1）垂直且相等；证明见解析
（2）①成立；理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出，根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半求出，从而证明点D、C、E在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理，得出，即可证明与垂直且相等；
（2）①延长到，使得，连接，如图，设交于，交于，证明，得出，，证明，说明，证明，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可得出答案；
②连接交于点H，连接，证明，得出，设，则，求出，，根据三角函数的定义求出结果即可．
【小问1详解】
解：与垂直且相等；理由如下：
，，

，是中点，
，
点D、C、E在以为圆心、为半径的圆上，
，
∴；
即与垂直且相等；
【小问2详解】
解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下：
延长到，使得，连接，如图，设交于，交于，

，，，
∴，
，，
∴，
，
，
，
又，，
∴
，，
，
即，
∴为等腰直角三角形，
，
，，
即与垂直且相等；
②连接交于点H，连接，如图所示：

∵D是的重心，M是的中点，
∴、D、M三点共线，H为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵H为的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，求三角函数值，三角形重心的性质，中位线性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法．
28. 在平面直角坐标系中，存在一个图形为图形上任意一点，线段（点与不重合）绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使得，若点为线段上一点（点可与线段端点重合），则称点为图形的“二倍点”.
已知点、点.

（1）中，是线段的“二倍点”的是_______；
（2）直线）存在线段的“二倍点”，求的取值范围；
（3）的半径为1，是⊙的“二倍点”，直线与轴、轴分别交于两点，点在线段上（可与线段端点重合），当点在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值.
【答案】（1）、
（2）或
（3）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）将点分别绕点逆时针旋转90度得到，连接并延长至点，根据新定义得出的二倍点为阴影区域，继而即可求解；
（2）根据（1）的结论当直线过时，当直线过时，分别代入解析式即可求解；
（3）由（1）可得是点的“二倍点”， 在上任取一点，按照定义得到，则，证明，，得出点在上运动，进而得出“二倍点”为与两个圆覆盖的区域（不包括在内部的弧）根据圆外一点到圆上的距离求得最值即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
根据定义，将点分别绕点逆时针旋转90度得到，连接并延长至点
即的二倍点为阴影区域，

∴是线段的“二倍点”的是、，
故答案为：、．
【小问2详解】
如图，的二倍点为阴影区域，
当直线过时，代入
解得：，
当直线过时，代入，
解得：，

或；
【小问3详解】
解：由（1）可得是点的“二倍点”，
∴，
∴
在上任取一点，按照定义得到，则，
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴
∵点在上，则,
∴，
即点在上运动，
∵是⊙的“二倍点”，则在线段上（包括端点）
∴“二倍点”为与两个圆覆盖的区域（不包括在内部的弧），如图所示，

如图所示，

过点作于点，则最小距离为
∵与轴、轴分别交于两点，
令，解得，
令，解得,
∴，，
∴，则是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小值为，
如图所示，连接，则最大值为，

∵,，
∴，
∴最大值为．
【点睛】本题考查了新定义，圆外点到圆上一点距离的最值，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键．