备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 培优课 §9.10 圆锥曲线压轴小题突破练

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§9.10　圆锥曲线压轴小题突破练
题型一　离心率的范围问题
例1 (1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,1] D.
答案　D
解析　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，
∴∈[a－c，a＋c]，
∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴
∴又∵e∈(0,1)，
∴e∈.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B．[＋1，＋∞)
C. D．(1，＋1]
答案　D
解析　由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，
所以01，故解得1|PF2|，
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，
整理得a＋3a＝4c2，
故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，所以e1e2≥，
即e1e2的最小值为，
当且仅当＝，
即e1＝，e2＝时，等号成立．
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，

设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　A
解析　如图，·＝0，

∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，
又BA⊥BP，∴kPB＝－，
依题意，kPB·kPA＝，
∴－·(－k)＝，
∴＝1，即e＝.
思维升华 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中＝b2·tan ，
双曲线中＝.
周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，
则椭圆中kPA·kPB＝－，
双曲线中kPA·kPB＝.
跟踪训练2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　设双曲线C2的方程为－＝1，
则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为btan 45°＝，
即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)
A. B. C．－1 D．－
答案　B
解析　∵∠F1AF2＝90°，

∴△F1AF2为等腰直角三角形，
∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，
∴＝，且∠AF2O＝45°，
∴kMA＝－1，
又kMA·kMB＝－＝－，
∴kMB＝.
命题点2　抛物线中二级结论的应用
例3 (1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
答案　D
解析　因为 p＝2，
所以＋＝＝1，
所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)
＝3＋＋
≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，
因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案　64
解析　方法一　(常规解法)
依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝y＋4.
由
消去x，整理得y2－16y－64＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝16，y1y2＝－64.
S△OAB＝|y1－y2|·|OF|＝2
＝2＝64.
方法二　(活用结论)
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S△OAB＝＝＝64.
思维升华 与抛物线的焦点弦有关的二级结论：
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
①焦半径|AF|＝x1＋＝，
|BF|＝x2＋＝，
②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，
③S△OAB＝(O为坐标原点)，
④x1x2＝，y1y2＝－p2，
⑤＋＝，
⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
跟踪训练3 已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)
A. B. C．4 D．2
答案　A
解析　如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，

∵＝3，
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由＋＝，
得＋＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p，
又|AB|＝，
∴＝p⇒sin α＝，
又S△OAB＝|AB|，
∴＝|AB|，
即＝·p⇒p＝2，
∴|AB|＝.
题型三　圆锥曲线与其他知识的综合
例4　油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则

①该椭圆的离心率为；
②该椭圆的离心率为2－；
③该椭圆的焦距为；
④该椭圆的焦距为2－1.
其中正确的结论是________．(填序号)
答案　②③
解析　sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，

如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．
因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝，
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝.
因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，
由正弦定理得＝，
解得a＝，
所以c＝－a＝，
所以＝＝2－，2c＝.
思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
跟踪训练4 (2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则下列结论不正确的是(　　)

A．双曲线C的方程为－＝1
B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
答案　C
解析　依题意可知M，N，
对于A，将M，N的坐标分别代入－＝1，
得解得
所以双曲线C的方程为－＝1，
其渐近线为y＝±x，故A正确；
对于B，由－x2＝1，
可知其渐近线为y＝±x，故B正确；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；

对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，
则－＝1，即y＝3x－9，
由题可知D(－，0)，E(，0)，
则kPD＝，
kPE＝，
kPD·kPE＝·＝＝3，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．
课时精练
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
答案　C
解析　∵·＝0，
∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，
依题意，该圆总在椭圆内部，
∴c0，b>0)，
则a2＋b2＝4.
∵kAB＝kNF＝1，且kON＝，
∴kAB·kON＝＝，
即a2＝3b2，
易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，
∴双曲线C的离心率e＝＝.
4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14 C．12 D．10
答案　A
解析　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，

则直线l2的倾斜角为＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝＝，
|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.
5．(2022·白山模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　不妨设渐近线的方程为y＝－x，
因为F1(－c,0)，
所以直线MF1的方程为y＝(x＋c)，
联立方程
可得M，
又MF2∥OP，O为F1F2的中点，
所以P为MF1的中点，
所以P，
即P，又点P在双曲线上，
所以－＝1，又>0，则解得＝，
所以该双曲线的离心率为.
6．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题不正确的是(　　)
A．若θ＝60°，则S＝4
B．若S＝4，则|PF2|＝2
C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4)
D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝1
答案　B
解析　由x2－＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，
焦点△PF1F2的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；
当S＝4时，θ＝90°，由可得|PF2|＝2，故B不正确；
当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4，因为△PF1F2为锐角三角形，所以S∈(4,4)，故C正确；
设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则x－＝1(x0>1)，由题设知F1(－，0)，F2(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．
7．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．
答案　2－2
解析　方法一　已知＝1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立可得y2－4my－4＝0，
则
所以＋＝＋＝＋
＝＝
＝＝1.
所以＝1－，
则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2＝2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，故|AF|－的最小值为2－2.
方法二　因为＝1，所以p＝2，
又＋＝，
所以＋＝1，
所以＝1－，
因为|AF|－＝|AF|－2
＝|AF|＋－2
≥2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，
所以|AF|－的最小值为2－2.
8．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．
(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_______ cm；
(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)．

答案　(1)6　(2)
解析　因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯口宽4 cm，
所以|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，
所以|AD|＝|BD|＝2，
所以|C1D|＝＝＝1，
所以|DE|＝2，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝6，
如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2，8)代入，得m＝1，
故抛物线方程为y＝x2，
　　　
图1　　　　　　　　　　 图2
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，
则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，
解得1－2r≥0，
可得0