2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练30 等比数列

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1.在等比数列{an}中,a3a7=9,则a5=( )
A.±3B.3
C.±3D.3
2.已知数列{an}为等比数列,则“a6>a5>0”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=21,a4-a1=21,则a3=( )
A.9B.10C.11D.12
4.在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=20,则a7+a8=( )
A.80B.100
C.120D.140
5.将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an},则a10=( )
A.319B.320C.321D.322
6.在等比数列{an}中,a1+a2=94,a4+a5=18,则其前5项的积为( )
A.64B.81
C.192D.243
7.(2022江苏淮阴中学检测)设{an}是首项为1的等比数列,若a1,2a2,4a3成等差数列,则通项公式an= .
8.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q= ;满足an>1的n的最大值为 .
9.(2023四川泸县模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,an=2an-1+1(n≥2).
(1)证明:{an+1}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列?
综合提升组
10.(2022广东广州三模)在等比数列{an}中,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则ann(n∈N*)的最小值为( )
A.1625B.49C.12D.1
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则S1a1+S2a2+…+S8a8= .
12.在等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则满足a1a2+a2a3+…+anan+1≤212成立的n的最大值为 .
创新应用组
13.(2022山西临汾考前适应训练一)已知{an}为等比数列,a1=16,公比q=12.若Tn是数列{an}的前n项积,则当Tn取最大值时n为( )
A.4B.5
C.4或5D.5或6
参考答案
课时规范练30 等比数列
1.A 由等比数列的性质,可得a52=a3a7=9,则a5=±3.
2.B 设数列{an}的公比为q.充分性:当a6>a5>0时,q=a6a5>1,且a1=a5q4>0,则数列{an}为递增数列;必要性:当数列{an}为递增数列时,若a1<0,0a6>a5.故为充分不必要条件.
3.D 设等比数列{an}的公比为q, 显然q≠1,则a1(1-q3)1-q=21,a1q3-a1=21,解得q=2,a1=3,则a3=3×22=12.
4.A 设等比数列{an}的公比为q,则q2=a3+a4a1+a2=2,∴a7+a8=(a1+a2)q6=10×23=80.
5.B 由题意知,数列{an}是首项为9,公比为9的等比数列,所以an=9n,则a10=910=320.
6.D 设等比数列{an}的公比为q,由题意a4+a5a1+a2=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=94,所以a1=34,所以a1a2a3a4a5=a15q10=345×210=243.
7.12n-1 由a1,2a2,4a3成等差数列,得4a2=a1+4a3,∴4q=1+4q2,解得q=12,
∴an=1·12n-1=12n-1.
8.-12 3 因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.
所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,
所以an=a1qn-1=8×-12n-1,
所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8×-12n-1=8×12n-1=24-n>0.
要使an>1,则4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3,n的最大值为3.
9.(1)证明由an=2an-1+1得an+1=2(an-1+1),又a1+1=2,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解由(1)得an+1=2·2n-1=2n,
∴an=2n-1;
∴Sn=(21+22+23+…+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2;
∴2an=2n+1-2,n+Sn=2n+1-2,即2an=n+Sn,∴n,an,Sn成等差数列.
10.D 设等比数列{an}的公比为q,由于4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,则q2-4q+4=(q-2)2=0,解得q=2,∴an=2n-1,∴ann=2n-1n,a11=1,a22=1,a33=43,a44=2,a55=165,∴an+1n+1÷ann=2nn+1×n2n-1=2nn+1=2(n+1)-2n+1=2-2n+1,当n=1时,2-2n+1=1,当n≥2时,2-2n+1>1,∴a11=a2211.502 因为an+Sn=1,
所以当n≥2时,an-1+Sn-1=1,
两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,
即an=12an-1(n≥2);
当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.
所以数列{an}表示首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12n,
Sn=12[1-(12) n]1-12=1-12n,
所以Snan=1-(12) n(12) n=2n-1,
所以S1a1+S2a2+S3a3+…+S8a8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.
12.3 已知{an}为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,
解得q=12,又a2=2,∴a1=4.
∵an+1an+2anan+1=q2=14,∴数列{anan+1}也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为14.
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=323(1-4-n)≤212,从而有14n≥164.
∴n≤3.故nmax=3.
13.C Tn=a1·a2·…·an=a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=(a1)n·q1+2+3+…+(n-1)=(a1)n·q(1+n-1)(n-1)2=(a1)n·qn2-n2=16n×12 n2-n2=24n·2n-n22=2-12n2+92n,函数y=-12n2+92n的开口向下,对称轴为n=92,所以当n=4或n=5时,Tn取得最大值.故选C.