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备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第4节 空间直线、平面的平行关系课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第8章 立体几何 第4节 空间直线、平面的平行关系课件PPT，共40页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，平面外一条直线，过这条直线，相交直线等内容，欢迎下载使用。
1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理
微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示:平行.可以转化为面面平行的判定定理.称为面面平行的判定定理的推论,符号表示为:a⊂α,b⊂α,a∩b=O,a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=O',a∥a',b∥b'⇒α∥β.
常用结论1.平面与平面平行的四个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(4)同一条直线与两个平行平面所成角相等.2.判断两个平面平行的两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.
考向1直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
证明:(方法1 构造平行四边形应用判定定理)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FM∥CD且FM= CD=2.因为AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AF∥BM.因为AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法2 构造中位线应用判定定理)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法3 应用面面平行性质)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
规律方法 1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
对点训练1如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H分别是线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)GH∥平面PAD.
证明:(1)连接EC,∵AD∥BC,BC= AD,E是AD的中点,∴BC∥AE,且BC=AE,∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.又F是PC的中点,∴FO∥AP.∵FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,∴FH∥PD.∵PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,∴FH∥平面PAD.又O是AC的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD.又AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
考向2直线与平面平行的性质例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O,M分别为BD,PC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)求证:OM∥平面PAD;(2)求证:BC∥l;(3)在棱PC上是否存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:连接AC,因为底面ABCD为平行四边形,O为BD的中点,所以O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在△APC中,AP∥OM.因为OM⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD.(2)证明:因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面PAD与平面PBC的交线为l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(3)解:假设在棱PC上存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD,在平面PCD中,过点N作PD的平行线EN,交DC于点E,因为EN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EN∥平面PAD.因为EN∩BN=N,所以平面BEN∥平面PAD.因为BE⊂平面BEN,所以BE∥平面PAD.又因为BE⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BE∥AD.另一方面,在平行四边形ABCD中,BE与AD不平行,矛盾,所以在棱PC上不存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.
规律方法 应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
对点训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段CD1上,CE=2ED1,点F为线段AB上的动点,AF=λFB,且EF∥平面ADD1A1.求λ的值.
例3(2023河南模拟)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形,E,F,G分别是棱BB1,B1C1,CC1的中点.(1)证明:平面A1EF∥平面AD1G;(2)若点A1在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心,A1A=2AB=4,求三棱锥A1-AD1G的体积.
(1)证明:如图,连接EG,BC1,∵E,G分别是棱BB1,CC1的中点,∴EG∥B1C1,EG=B1C1.∵A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1,∴EG∥A1D1,EG=A1D1,∴四边形EGD1A1是平行四边形,则D1G∥A1E.∵D1G⊂平面AD1G,A1E⊄平面AD1G,∴A1E∥平面AD1G.∵E,F分别是棱BB1,B1C1的中点,∴EF∥BC1.又AD1∥BC1,∴EF∥AD1.∵AD1⊂平面AD1G,EF⊄平面AD1G,∴EF∥平面AD1G.∵EF⊂平面A1EF,A1E⊂平面A1EF,且A1E∩EF=E,∴平面A1EF∥平面AD1G.
(2)解:如图,连接AC,BD,记AC∩BD=O,连接A1O,则A1O⊥平面ABCD.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
对点训练3如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,证明B1D1∥l.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.
例4如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥平面β;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.
(1)证明:①当AB,CD在同一平面内时,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD∩平面β=HD,取HD=AC,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥HD,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连接EG,FG,BH.∵AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH,∴GF∥HD,EG∥BH.又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β.综合①②可知,EF∥平面β.
规律方法 利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段成比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
对点训练4如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理
微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示:平行.可以转化为面面平行的判定定理.称为面面平行的判定定理的推论,符号表示为:a⊂α,b⊂α,a∩b=O,a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=O',a∥a',b∥b'⇒α∥β.
常用结论1.平面与平面平行的四个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(4)同一条直线与两个平行平面所成角相等.2.判断两个平面平行的两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.
考向1直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
证明:(方法1 构造平行四边形应用判定定理)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FM∥CD且FM= CD=2.因为AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AF∥BM.因为AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法2 构造中位线应用判定定理)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法3 应用面面平行性质)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
规律方法 1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
对点训练1如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H分别是线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)GH∥平面PAD.
证明:(1)连接EC,∵AD∥BC,BC= AD,E是AD的中点,∴BC∥AE,且BC=AE,∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.又F是PC的中点,∴FO∥AP.∵FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,∴FH∥PD.∵PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,∴FH∥平面PAD.又O是AC的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD.又AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
考向2直线与平面平行的性质例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O,M分别为BD,PC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)求证:OM∥平面PAD;(2)求证:BC∥l;(3)在棱PC上是否存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:连接AC,因为底面ABCD为平行四边形,O为BD的中点,所以O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在△APC中,AP∥OM.因为OM⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD.(2)证明:因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面PAD与平面PBC的交线为l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(3)解:假设在棱PC上存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD,在平面PCD中,过点N作PD的平行线EN,交DC于点E,因为EN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EN∥平面PAD.因为EN∩BN=N,所以平面BEN∥平面PAD.因为BE⊂平面BEN,所以BE∥平面PAD.又因为BE⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BE∥AD.另一方面,在平行四边形ABCD中,BE与AD不平行,矛盾,所以在棱PC上不存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.
规律方法 应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
对点训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段CD1上,CE=2ED1,点F为线段AB上的动点,AF=λFB,且EF∥平面ADD1A1.求λ的值.
例3(2023河南模拟)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形,E,F,G分别是棱BB1,B1C1,CC1的中点.(1)证明:平面A1EF∥平面AD1G;(2)若点A1在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心,A1A=2AB=4,求三棱锥A1-AD1G的体积.
(1)证明:如图,连接EG,BC1,∵E,G分别是棱BB1,CC1的中点,∴EG∥B1C1,EG=B1C1.∵A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1,∴EG∥A1D1,EG=A1D1,∴四边形EGD1A1是平行四边形,则D1G∥A1E.∵D1G⊂平面AD1G,A1E⊄平面AD1G,∴A1E∥平面AD1G.∵E,F分别是棱BB1,B1C1的中点,∴EF∥BC1.又AD1∥BC1,∴EF∥AD1.∵AD1⊂平面AD1G,EF⊄平面AD1G,∴EF∥平面AD1G.∵EF⊂平面A1EF,A1E⊂平面A1EF,且A1E∩EF=E,∴平面A1EF∥平面AD1G.
(2)解:如图,连接AC,BD,记AC∩BD=O,连接A1O,则A1O⊥平面ABCD.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
对点训练3如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,证明B1D1∥l.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.
例4如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥平面β;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.
(1)证明:①当AB,CD在同一平面内时,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD∩平面β=HD,取HD=AC,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥HD,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连接EG,FG,BH.∵AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH,∴GF∥HD,EG∥BH.又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β.综合①②可知,EF∥平面β.
规律方法 利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段成比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
对点训练4如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
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