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备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式课件PPT
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考情分析:导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
考向1不含参数的一元函数不等式的证明例1设函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.
当x∈(-∞,0)时,d'(x)<0,故d(x)在(-∞,0)上单调递减;当x∈(0,+∞)时,d'(x)>0,故d(x)在(0,+∞)上单调递增.所以d(x)min=d(0)=0,所以d(x)≥0,即ex≥x+1,x∈R(当且仅当x=0时取等号).
先证ex≥ex,x∈R.设d(x)=ex-ex,则d'(x)=ex-e,令d'(x)=0,则x=1.当x∈(-∞,1)时,d'(x)<0,故d(x)在(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,d'(x)>0,故d(x)在(1,+∞)上单调递增.所以d(x)min=d(1)=0,故d(x)≥0,即ex≥ex,x∈R(当且仅当x=1时取等号).
规律方法 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
对点训练1(2022山西吕梁一模)已知函数f(x)=ex-x-1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x≥0时,求证:f(x)+x+1≥ x2+cs x.
(1)解:函数f(x)的定义域为R,由f(x)=ex-x-1,得f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1>0,得x>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;令f'(x)=ex-1<0,得x<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减;即函数f(x)的极小值为f(0)=0,f(x)没有极大值.
考向2含参数的一元函数不等式的证明例2(2022河南焦作一模)已知函数f(x)=ex-k(ln x+1),k∈R.(1)若x= 是f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当k∈(0,e)时,f(x)>0.
规律方法 含参数的单元函数不等式的证明的一般思路是:首先利用参数的范围,通过放缩法把参数消去,将问题转化为单元函数不等式的证明,再利用证明单元函数不等式的方法证明.
对点训练2(2022陕西咸阳一模)已知函数f(x)=3ln x+1+ .(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若0
考向3双元函数不等式的证明例3(2022山东淄博一模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+1(a∈R).(1)当a>0时,设函数f(x)的最大值为h(a),证明:h(a)≥1;
规律方法 证明双元函数不等式的方法
对点训练3已知函数f(x)=2ax-ln x,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)记函数f(x)的导函数为f'(x),当a>0时,若x1,x2(0
考情分析:导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
考向1不含参数的一元函数不等式的证明例1设函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.
当x∈(-∞,0)时,d'(x)<0,故d(x)在(-∞,0)上单调递减;当x∈(0,+∞)时,d'(x)>0,故d(x)在(0,+∞)上单调递增.所以d(x)min=d(0)=0,所以d(x)≥0,即ex≥x+1,x∈R(当且仅当x=0时取等号).
先证ex≥ex,x∈R.设d(x)=ex-ex,则d'(x)=ex-e,令d'(x)=0,则x=1.当x∈(-∞,1)时,d'(x)<0,故d(x)在(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,d'(x)>0,故d(x)在(1,+∞)上单调递增.所以d(x)min=d(1)=0,故d(x)≥0,即ex≥ex,x∈R(当且仅当x=1时取等号).
规律方法 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
对点训练1(2022山西吕梁一模)已知函数f(x)=ex-x-1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x≥0时,求证:f(x)+x+1≥ x2+cs x.
(1)解:函数f(x)的定义域为R,由f(x)=ex-x-1,得f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1>0,得x>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;令f'(x)=ex-1<0,得x<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减;即函数f(x)的极小值为f(0)=0,f(x)没有极大值.
考向2含参数的一元函数不等式的证明例2(2022河南焦作一模)已知函数f(x)=ex-k(ln x+1),k∈R.(1)若x= 是f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当k∈(0,e)时,f(x)>0.
规律方法 含参数的单元函数不等式的证明的一般思路是:首先利用参数的范围,通过放缩法把参数消去,将问题转化为单元函数不等式的证明,再利用证明单元函数不等式的方法证明.
对点训练2(2022陕西咸阳一模)已知函数f(x)=3ln x+1+ .(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若0
考向3双元函数不等式的证明例3(2022山东淄博一模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+1(a∈R).(1)当a>0时,设函数f(x)的最大值为h(a),证明:h(a)≥1;
规律方法 证明双元函数不等式的方法
对点训练3已知函数f(x)=2ax-ln x,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)记函数f(x)的导函数为f'(x),当a>0时,若x1,x2(0
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