2024届人教A版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第3课时利用导数证明不等式__构造法证明不等式课件

这是一份2024届人教A版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第3课时利用导数证明不等式__构造法证明不等式课件，共20页。

关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　移项作差构造函数证明不等式——综合性
考点2　放缩构造法——综合性
考点3　构造双函数法——综合性
例1　已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0，1)处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；解：f′(x)＝ex－a，因为f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，解得x＝ln 2.当xln 2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln 2)＝2－2ln 2，无极大值．
(2)求证：当x>0时，x20，所以g(x)在R上单调递增，因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，借助所构造函数的单调性和最值证明不等式成立．
例2　已知函数f(x)＝sin2x sin2x.(1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性；解：由函数的解析式可得f(x)＝2sin3x csx，则f′(x)＝2(3sin2x cs2x－sin4x)＝2sin2x(3cs2x－sin2x)＝2sin2x(4cs2x－1)＝2sin2x(2csx＋1)(2cs x－1)，
例3　已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex.(1)求函数f(x)的极值；解：因为函数f(x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，所以f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex)．由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下：
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可以将待证不等式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．2．在证明过程中，等价转化是关键．