备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 解答题专项一 第3课时 利用导数研究函数的零点课件PPT

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考向1判断、证明或讨论函数零点的个数例1已知函数f(x)=ex-zx+sin x-1.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当1≤a<2时,讨论函数f(x)零点的个数.
解:(1)当a=2时,f(x)=ex-2x+sin x-1(x∈R),则f'(x)=ex-2+cs x,设h(x)=f'(x)=ex-2+cs x,则h'(x)=ex-sin x,当x∈(-∞,0]时,ex≤1,所以f'(x)=ex-2+cs x≤-1+cs x≤0,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减;当x∈(0,+∞)时,ex>1,所以h'(x)=ex-sin x>1-sin x≥0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,综上可得,f(x)在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增.(2)由函数f(x)=ex-ax+sin x-1(x∈R),当x=0时,f(0)=0,所以0是f(x)的一个零点,由f'(x)=ex-a+cs x,设g(x)=f'(x)=ex-a+cs x,可得g'(x)=ex-sin x,因为1≤a<2,①当x∈(0,+∞)时,g'(x)=ex-sin x>1-sin x≥0,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)>f'(0)=2-a>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上无零点.
②当x∈(-∞,-π]时,-ax≥π,则f(x)≥ex+π+sin x-1>0,所以f(x)在(-∞,-π]上无零点.③当x∈(-π,0)时,sin x<0,g'(x)=ex-sin x>0,f'(x)在(-π,0)内单调递增,又因为f'(0)=2-a>0,f'(-π)=e-π-a-1<0,所以存在唯一实数x0∈(-π,0),使得f'(x0)=0,当x∈(-π,x0)时,f'(x)<0,f(x)在(-π,x0)内单调递减,当x∈(x0,0)时,f'(x)>0,f(x)在(x0,0)内单调递增,又因为f(-π)=e-π+aπ-1>0,f(x0)规律方法 函数零点个数即对应方程根的个数,也就是函数图象与x轴交点的个数,所以可以借助函数图象的特征求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数,一般可从两个方面讨论:(1)利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图象,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数,即“几个交点几个根,正负极值定乾坤”;(2)分离参数,将问题转化为求直线y=a与函数y=f(x)的图象交点个数问题,即“求根问题要通变,分离参数放左边”.
对点训练1已知函数f(x)=ln x-x+sin x+a.(1)求f(x)的导函数f'(x)在(0,π)内的零点个数;(2)求证:当a∈[1,3]时,f(x)有且仅有2个不同的零点.
所以f'(x)=0在[π,6)上有唯一的根,且记为x1∈[π,6),使f'(x1)=0.综合①可知f(x)在[x0,x1)上单调递减,在(x1,6)内单调递增,则f(x1)0,所以f(x)在[x0,6)上恰有1个零点.
③当x∈[6,+∞)时,f(x)≤ln x-x+4,设φ(x)=ln x-x+4,φ'(x)= -1<0,所以φ(x)在[6,+∞)上单调递减,则φ(x)≤φ(6)=ln 6-6+4=ln 6-2<0,所以当x∈[6,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(6)<0恒成立,所以f(x)在[6,+∞)上没有零点,综上,当a∈[1,3]时,f(x)有且仅有2个不同的零点.
考向2已知函数零点情况求参数的值(或范围)例2(2022全国乙,文20)已知函数f(x)=ax- -(a+1)ln x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因此,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.
又当x→0时,f(x)→-∞,∴f(x)恰有一个零点.综上,若f(x)恰有一个零点,则a的取值范围为(0,+∞).
规律方法 已知函数零点个数求参数范围的方法(1)分类讨论法:对函数求导,依据导数的正负对参数分类,在参数各类范围内确定函数的单调性情况,利用零点存在定理判断函数零点的个数,得出符合零点个数要求的参数范围;(2)参变分离法:从函数中分离出参数,将已知函数零点个数问题转化为直线与新函数图象交点个数问题,通过导数的方法得出函数的性质,由函数的性质得出函数图象的大体形状,再借助数形结合思想确定出满足函数零点个数要求的参数范围.
对点训练2(2022河南名校联盟一模)已知函数f(x)=x-a(1+ln x).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求a的取值范围.
(2)由(1)知①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,至多1个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)min=f(a)=-aln a,(ⅰ)当00,f(x)无零点,不合题意;(ⅱ)当a=1时,f(x)min=f(a)=-aln a=0,f(x)有1个零点,不合题意;
考向3可转化为函数零点的函数问题例3已知函数f(x)=2ex-x2-2(x-1)(其中e为自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex有两个极值点,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=2ex-x2-2(x-1),定义域为R,f'(x)=2(ex-x-1),令φ(x)=f'(x),φ'(x)=2(ex-1),令φ'(x)>0,解得x>0,令φ'(x)<0,解得x<0,所以φ(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=φ(x)≥φ(0)=0,所以f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.
(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex=aex-x2-2(x-1)在R上有两个极值点,即g'(x)=aex-2x-2有两个变号零点.令h(x)=g'(x)=aex-2x-2,①当a≤0时,h(x)=aex-2x-2在R上单调递减,最多只有一个零点,不合题意;②当a≥2时,h(x)=aex-2x-2≥2(ex-x-1),由(1)ex≥x+1,知h(x)=aex-2x-2≥2(ex-x-1)≥0,最多只有一个零点,不合题意;
规律方法 若f'(x)为可导函数f(x)的导函数,x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0.曲线的切线条数、两曲线的交点个数、极值点问题、方程根的个数等解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合等方式,研究函数的零点知识,确定相应的数量关系.
解:(1)当a=0时,f(x)=xex,则f'(x)=ex+xex,所以f'(1)=2e,由f(1)=e,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-e=2e(x-1),化简得2ex-y-e=0.
(2)f(x)的定义域为R,因为f'(x)=ex(x+1)-2ax(x+1)=(x+1)(ex-2ax),所以令f'(x)=0,即(x+1)(ex-2ax)=0,则x+1=0或ex-2ax=0,由于函数y=f(x)有三个极值点x1,x2,x3,所以方程ex-2ax=0必有两个不同的实根,设g(x)=ex-2ax,定义域为R,可得g'(x)=ex-2a,易知当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在R上为增函数,不合题意,当a>0时,g(x)的两个零点必为正数.令g'(x)=0,即ex-2a=0,解得x=ln 2a,可知在x∈(-∞,ln 2a),g'(x)<0,g(x)单调递减;在x∈(ln 2a,+∞),g'(x)>0,g(x)单调递增.根据题意,要使得函数g(x)=ex-2ax有两个不同的零点x2,x3,则g(x)min=g(ln 2a)<0,