辽宁省营口市第二高级中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2018-2019学年度下学期第一次月考

高一数学试卷

一、选择题

1.若是的中线，已知，，则以为基底表示（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意分析，画出三角形，根据向量加法的平行四边形法则，补全平行四边形，利用基底表示向量，即可求解.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则，补全平行四边形，如图可知：，

所以.

故选：

【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.

2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A. 2kπ＋45°(k∈Z) B. k·360°＋π(k∈Z)

C. k·360°－315°(k∈Z) D. kπ＋ (k∈Z)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.

【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.

故答案为C

【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与终边相同的角=+  其中.

3.已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（    ）

A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线

C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线

【答案】C

【解析】

【详解】如图：

设，为两个相交于直线的平面，其中，平面；，平面，且.

A、D项，如图中满足题设条件，但与是相交直线，故A、D项错误；

B项，如图中满足题设条件，但与是异面直线，故B项错误；

C项，假设，则由可知，这与、异面矛盾，所以与不可能平行，

故选C.

4.已知向量，且，则

A.  B.

C.  D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据两向量的平行关系可得，再将向量加法和向量模长运算公式相结合即可得最后结果.

【详解】根据题意可得，可得，

所以，从而可求得，故选B

【点睛】该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足的条件，求得相关的参数的值，之后应用向量加法运算法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求得结果.

5.已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是（   ）

A. 8 B. 2 C. 4 D. 1

【答案】C

【解析】

由扇形的面积公式得：S= lR，

因为扇形的半径长为2,面积为8，

所以扇形的弧长l=8.

设扇形的圆心角的弧度数为α，

由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2

所以扇形的圆心角的弧度数是4.

本题选择C选项.

6.三个顶点坐标分别为、、，则顶点的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，设的坐标为，利用平行四边形对边向量相等，根据向量坐标运算，即可求解.

【详解】设的坐标为，

则由题意得，

由平行四边形的性质知，

所以，

解得.

故选：

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

7.下列命题中错误的是（   ）

A. 平面内一个三角形各边所在直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

B. 若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行；

C. 平行于同一个平面的两个平面平行；

D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间中面面平行的性质、判定定理可以得到正确，可找到反例，从而得到结果.

【详解】选项：三角形各边所在直线与一个平面平行，即三角形所在平面中有两条相交直线均平行于另一个平面，可知两个平面平行，正确；

选项：在如下图所示的正方体中

平面平面，平面，平面

此时，与异面，可知错误；

选项：由面与面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，正确；

选项：由面面平行的性质定理可知正确.

本题正确选项：

【点睛】本题考查面面平行的相关命题的辨析，主要考查面面平行的判定定理、性质定理的应用，属于基础题.

8.平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，，以下说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析：由题意利用向量的坐标表示首先求得向量的坐标表示，然后逐一考查所给的选项即可求得最终结果.

详解：由题意不妨设，

则，，

据此逐一考查所给的选项：

，，则，选项A错误；

，则，选项B正确；

，则，选项C错误；

不存在实数满足，则不成立，选项D错误；

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查平面向量的坐标表示及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9.已知角是第三象限的角,则角是(    )

A. 第一或第二象限的角 B. 第二或第三象限的角

C. 第一或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角

【答案】D

【解析】

【分析】

可采取特殊化的思路求解，也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四，则标有三的即为所求区域.

【详解】(方法一)取,则,此时角为第二象限的角;取,则,此时角为第四象限的角.

(方法二)如图,

先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四,

则标有三的区域即为角的终边所在的区域,

故角为第二或第四象限的角.

故选：D

【点睛】本题主要考查了根据所在象限求所在象限的方法，属于中档题.

10.设为坐标原点),若三点共线,则的最小值是

A. 4 B.  C. 8 D. 9

【答案】D

【解析】

,,因为三点共线,所以,所以,即2a+b=1,则.当且仅当,即a=b=时,等号成立.

故选D

11.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点， 则点C到平面A1DM的距离为 (   )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

画出图形如下图所示,设到平面的距离为,则根据等体积法有,即,解得,故选.

12.在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是(   )

A. 相交且垂直 B. 共面 C. 平行 D. 异面且垂直

【答案】D

【解析】

由题意易知：直线，∴又直线与直线异面直线，

故选D

二、填空题

13.若角，则与角具有相同终边的最小正角为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，利用终边相同角的概念，化简角，写出终边相同角，令，即可求解.

【详解】因为，所以与终边相同的角为.

由题意可得时，最小正角是.

故答案为：

【点睛】本题考查终边相同角的概念，属于基础题.

14.已知等腰三角形ABC底边长BC=,点D为边BC的中点,则_____

【答案】-3

【解析】

由题意可知，,

∴.

15.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

正四棱锥中，，，设正四棱锥高为，连结，求出，由此能求出该正四棱锥的体积.

【详解】解：如图，正四棱锥中，，，设正四棱锥的高为，连结，

则，

在直角三角形中，.

.

故答案为：.

【点睛】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力，运算求解能力，属于中档题.

16.如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.

【答案】

【解析】

分析：用和表示出得出，在根据和的关系计算，从而得到的长．

详解：因为,

所以，所以

所以，

因为，

所以,

所以，

所以，所以，

所以，所以，即．

点睛： 本题考查了平面向量的基本定理，及平面向量的数量积的运算问题，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

三、解答题

17.如图所示，设是三边上的点，且，，，若，，试用将表示出来．

【答案】，

【解析】

【分析】

根据题意，结合图象，利用向量的加法法则和减法法则，表达与，即可求解.

【详解】，

【点睛】本题考查向量的加法和减法法则，属于基础题.

18.设是不共线的单位向量，且，．

（1）若，求的值；

（2）若，求．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量基本定理建立关于的二次一元方程组，解出即可.

（2）根据题意，由，求得值为零，即可求和，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）

且不共线；

由平面向量基本定理得：，

解得.

（2）由，则

则有 ，

又

则

【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的数量积运算，属于基础题.

19.如图，已知在直三棱柱中（侧棱垂直于底面），，，，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由底面三角形证勾股定理，得到线线垂直，再由侧棱垂直于底面证线面垂直，再证线线垂直；

（2）根据题意，连接交于点，连接，根据三角形中位线证明线线平行，再证线面平行.

【详解】⑴,

，

为直角三角形，

，

又，

，

，

；

⑵连接交于点，

则为的中点，连接，

则在中，

又，

则.

【点睛】本题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面平行的判定，属于基础题.

20.已知向量，，，．

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

(1)先求与的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得，解方程即得解.

【详解】（1）∵，，，，

∴，，，，

∴；

又∵，∴；

（2）当时，，

∴，则，∴．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

21.在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.

(1)求证：AE∥平面PBC；

(2)求证：AE⊥平面PDC.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：：(1)证明:取的中点,连接,证得且,从而得

,利用线面平行的判定定理，即可证明结论；

 (2) 由平面,所以平面，进而得,由(1)得平面,即可证明平面.

试题解析：

(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=DC,

所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME平行四边形.所以AE∥BM,

因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.

(2)因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.

由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.

22.如图，在中，，是的中点，是所在平面外一点，且．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由三角形全等证线线垂直，再证线面垂直；

（2）根据题意，由等腰三角形三线合一证线线垂直关系，再证线面垂直.

【详解】证明：

⑴，是的中点，

在中，是的中点，

又

又

.

⑵，为的中点，

由⑴知

，

【点睛】本题考查由线线垂直证明线面垂直，考查转化与化归思想，属于基础题.