2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试(3月)数学试题含解析
展开2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试(3月) 数学试题
一、单选题
1.集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接利用并集的定义求解即可.
【详解】
因为,
所以=,故选D.
【点睛】
研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
2.函数在区间[-2,-1]上的最大值是( )
A.1 B.2 C.4 D.
【答案】C
【解析】根据函数的单调性,判断出当时函数取得最大值,并由此求得最大值.
【详解】
由于为定义域上的减函数,故当时函数取得最大值为.故选C.
【点睛】
本小题主要考查指数函数的单调性,考查指数运算,考查函数最值的求法,属于基础题.
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据求最小正周期的公式,即可求出答案
【详解】
因为 : 所以: .故答案选:C
【点睛】
由,求函数最小正周期
4.已知,则的值是 ( )
A.0 B.–1 C.1 D.2
【答案】A
【解析】利用函数解析式,直接求出的值.
【详解】
依题意.故选A.
【点睛】
本小题主要考查函数值的计算,考查函数的对应法则,属于基础题.
5.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先根据三视图得到几何体为圆柱,根据圆柱的表面积公式计算出表面积.
【详解】
由三视图可知,该几何体为圆柱,故其表面积为,故选A.
【点睛】
本小题主要考查三视图还原为原图,考查圆柱的表面积计算公式,属于基础题.
6.已知向量,向量,若,则实数的值为( )
A. B.3 C. D.1
【答案】B
【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程,由此求得的值.
【详解】
由于两个向量垂直,故,故选B.
【点睛】
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示,考查方程的思想,属于基础题.
7.在某次考试中,共有100个学生参加考试,如果某题的得分情况如表:
得分 | 0分 | 1分 | 2分 | 3分 | 4分 |
百分率 | 37.0 | 8.6 | 6.0 | 28.2 | 20.2 |
那么这些得分的众数是( )
A.37.0% B.20.2% C.0分 D.4分
【答案】C
【解析】由题意得,得分为0分的比例为37.0%,所占比例最大,所以这些得分的众数是0。选C。
8.若回归直线的方程为,则变量x 增加一个单位时 ( )
A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位
C.y 平均减少1.5个单位 D.y 平均减少2个单位
【答案】C
【解析】根据回归直线方程的斜率为负,可得出正确选项.
【详解】
由于回归直线方程为,其斜率为,故变量增加一个单位时,平均减少个单位.故选C.
【点睛】
本小题主要考查对回归直线方程系数的理解,考查直线的斜率,属于基础题.
9.直线过点且与直线垂直,则的方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.
【详解】
因为直线与直线垂直,
所以设直线,
因为直线过点,
所以,即方程为.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系,与已知直线平行的直线一般可设其方程为;与已知直线垂直的直线一般可设其方程为.
10.已知,,若,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设出的坐标,代入,计算出点的坐标.
【详解】
设,则,,根据得,即,解得,故选D.
【点睛】
本小题主要考查向量的减法和数乘计算,考查两个向量相等的坐标表示,属于基础题.
11.对于不同直线以及平面,下列说法中正确的是( )
A.如果,则 B.如果,则
C.如果,则 D.如果,则
【答案】D
【解析】根据线线、线面平行和垂直有关定理,对四个选项逐一分析,得出正确选项.
【详解】
对于A选项,可能含于,故A选项错误.对于B选项,两条直线可能异面,故B选项错误.对于C选项,可能含于,故C选项错误.对于D选项,根据线面垂直的性质定理可知,D选项正确,故选D.
【点睛】
本小题主要考查线线、线面平行和垂直命题真假性的判断,考查线面垂直的性质定理,属于基础题.
12.等差数列{an}中,a2+a5+a8=12,那么函数x2+(a4+a6)x+10零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
【答案】C
【解析】根据等差数列的性质求得的值,根据判别式判断出函数零点的个数.
【详解】
根据等差数列的性质只,,故二次函数对应的判别式,所以函数有两个零点,故选C.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的基本性质,考查二次函数零点和判别式的对应关系,属于基础题. 这个等差数列的性质是:若,则,若,则.如果数列是等比数列,则数列的性质为:若,则,若,则.所以解有关等差或者等比数列的题目时,先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.
二、填空题
13.某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测,若果蔬类抽取4种,则为 .
【答案】9
【解析】先根据果蔬类抽取的种类数计算出抽样的比例,乘以食品总的种类数得到样本容量.
【详解】
由果蔬类抽取种可知,抽样比为,故.
【点睛】
本小题主要考查分层抽样的知识和计算,考查运算求解能力,属于基础题.
14.圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,则其圆心坐标是___________,半径是___________.
【答案】(–1,–2)
【解析】把圆的一般方程化为标准方程,可得圆的圆心和半径.
【详解】
圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,即(x+1)2+(y+2)2=5,∴其圆心坐标位(–1,–2),半径为,故答案为:(1). (–1,–2) (2). .
【点睛】
本题主要考查圆的一般方程和标准方程,属于基础题.
15.直线的斜率是3,且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________.
【答案】
【解析】根据点斜式写出直线方程,并化为一般式.
【详解】
由直线方程的点斜式得,化简得.
【点睛】
本小题主要考查直线方程点斜式,考查点斜式转化为一般式,属于基础题.
16.若实数x,y满足,则y的最大值是__________.
【答案】2.
【解析】画出可行域,根据图像判断出的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示,由图可知,的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查线性规划的知识,考查可行域的画法,属于基础题.
三、解答题
17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】(1)连结AC,设AC交BD于O,连结EO,利用中位线定理以及线面平行的判定定理,即可证明;
(2)先利用线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质得出BC⊥DE, DE⊥PB,最后利用线面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.
【详解】
证明:(1)连结AC,设AC交BD于O,连结EO
∵底面ABCD是矩形,∴点O是AC的中点
又∵点E是PC的中点,∴PA∥EO
∵EO⊂平面BDE,PA⊄平面BDE
∴PA∥平面BDE.
(2)PD⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD
∴PD⊥BC
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥BC
∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PDC
∴BC⊥平面PDC
∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE
∵PD=DC,E是PC的中点,∴DE⊥PC
∵PC∩BC=C,PC ⊂平面PBC,BC ⊂平面PBC
∴DE⊥平面PBC,PB⊂平面PBC
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB,DE∩EF=E,DE⊂平面DEF,EF⊂平面DEF
∴PB⊥平面DEF.
【点睛】
本题主要考查了证明线面平行以及证明线面垂直,属于中档题.
18.等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】【详解】
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为所以.
解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.
(2)bn==,
所以Sn=
19.已知的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若.
(1)求角C的大小;
(2)若的面积为,c=,求的周长.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由正弦定理可得a2+b2-c2=ab,再用余弦定理可得cosC,即可求得C;
(2)由面积公式可得ab=8,再结合余弦定理求得a+b=6,相加可得周长.
【详解】
(1)由及正弦定理,得a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得,
∵,∴.
(2)由(1)知.
由的面积为得,解得ab=8,
由余弦定理得,
∴(a+b)2=36,a+b=6,
故的周长为.
【点睛】
本题考查解三角形,涉及正余弦定理的应用和三角形的面积公式,属中档题.
20.已知圆C的圆心C在直线上,且与x轴正半轴相切,点C与坐标原点O的距离为.
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l过点 且与圆C相交于A,B两点,求弦长的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1);(2),.
【解析】(1)结合直线的方程设出圆心坐标以及半径,根据两点间距离公式以及题设条件,即可得出圆C的标准方程;
(2)当直线的斜率不存在时,得出直线的方程,根据方程得出,当直线l的斜率存在时,设出直线的方程,利用点到直线的距离公式以及弦长公式得出,进而得出弦长的最小值以及直线的方程.
【详解】
(1)由题可设圆心,半径r
∵.
又∵圆C与x轴正半轴相切
∴圆C的标准方程:
(2)①当直线l的斜率不存在时,
直线l的方程为x=1,此时弦长
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:
点C到直线l的距离,则弦长
当k=0时,弦长取最小值
此时直线l的方程为.
由①②知当直线l的方程为时,弦长取最小值为.
【点睛】
本题主要考查了求圆的标准方程以及弦长公式的应用,属于中档题.
21.已知函数,.
(Ⅰ)若为偶函数,求的值并写出的增区间;
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为,当时,求的最小值;
(Ⅲ)对任意的,,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;增区间.
(2) 的最小值为,取“”时.
(3) .
【解析】分析:(Ⅰ)由偶函数的定义得,求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法,确定的增区间;
(Ⅱ)根据已知条件结合韦达定理,求得的值.再化简整理的表达式,结合和基本不等式即可得到答案.
(Ⅲ)先求出区间上,再将不等式恒成立,转化为上恒成立问题,构造新函数,得恒成立,分类讨论求得参数的值.
详解:解:(Ⅰ)为偶函数,
,即,解得.
所以,函数,对称轴,增区间
(Ⅱ)由题知
∴
又∵,∴
∴,
即的最小值为,取“”时
(Ⅲ)∵时,
∴在恒成立
记,()
①当时,
由,∴
②当时,
由,∴
③当时,
由,
综上所述,的取值范围是
点睛:本题主要考查单调性和奇偶性,二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系,基本不等式的应用,不等式恒成立问题,准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.
2021-2022学年山东师范大学附属中学高二下学期3月学业水平测试数学试题 PDF版: 这是一份2021-2022学年山东师范大学附属中学高二下学期3月学业水平测试数学试题 PDF版,共10页。
2019-2020学年山东师范大学附属中学高一5月学业水平检修数学试题 PDF: 这是一份2019-2020学年山东师范大学附属中学高一5月学业水平检修数学试题 PDF,共8页。
2022-2023学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。