2023年浙江省衢州市菁才中学中考数学一模试题

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2023年浙江省衢州市菁才中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A. 两根都垂直于地面 B. 两根平行斜插在地上 C. 两根竿子不平行 D. 一根到在地上
【答案】C
【解析】
【详解】同一时刻，两根竿子置于阳光之下，如果影长相等，
那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，
而竿子长度不等，则两根竿子不平行.
故选C
2. 彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
3. 解方程的第一步应是（   ）
A. 去分母                                   B. 去括号                                   C. 移项                                   D. 合并
【答案】B
【解析】
【分析】解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
【详解】解：由解一元一次方程的基本步骤可知，
解方程的第一步应是去括号 ．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
4. 下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【详解】解：根据图形可得：选项A有1条对称轴，选项B、C各有2条对称轴，选项D有6条对称轴，
故选A.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，关键是正确找出每个图形的对称轴．
5. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据题意，得：（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14，故选C．
6. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得: 2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,.
7. 如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（ ）

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝×16＝8cm．
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8. 如果5x=m，5y=n，那么5x﹣y等于（　　）
A. m+n B. m﹣n C. mn D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据同底数幂除法法则进行计算即可．
【详解】∵5x=m，5y=n，
∴5x﹣y=5x÷5y=m÷n，
故选D．
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．
9. 计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…归纳各计算结果中个位数字规律，则22010﹣1的个位数字是（　　）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先观察给出的数，发现个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环，然后再根据2010÷4的余数确定个位即可．
【详解】解：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，
25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255，
由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环．
知道2010除以4为502余2，
所以可以猜测22010﹣1的个位数字是3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字规律，观察发现个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环是解答本题的关键．
10. 在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【详解】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．
详解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠E=90°，
∴△ADE是直角三角形，
故选B．
点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知一条直线上有三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为__．
【答案】80 或20
【解析】
【分析】根据题意画出图形，①C在AB中间，②C在AB外，再利用中点的知识可求出答案．
【详解】解：①由题意得：PB＝AB＝50，BQ＝BC＝30，
∴PQ＝PB＋BQ＝80；
②CQ＝BC＝30，CP＝BC－BP＝60－50＝10，
∴PQ＝CQ－CP＝20．
故答案为80或20．

【点睛】本题考查线段中点的知识，有一定难度，关键是讨论C点的位置．
12. 线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】点的对应点为，确定平移方式，先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，从而结合可得其对应点的坐标.
【详解】解： 线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为，
而
，


故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标系内点的平移，掌握由坐标的变化确定平移方式，再由平移方式得到对应点的坐标是解本题的关键.
13. 已知x1 ， x2是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则x1+x2﹣x1x2=________ ．
【答案】2
【解析】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
【详解】∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两根，∴x1+x2，x1•x2，则x1+x2﹣x1•x22．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
14. 如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．

【答案】100
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．
【详解】解：∵，
∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵，
∴180°-80°=100°．
故答案是100．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据是等腰直角三角形，轴，得到是等腰直角三角形，再根据求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k．
【详解】∵是等腰直角三角形，轴．
∴；．
∴是等腰直角三角形．
∴．
故：，．
．
将D点坐标代入反比例函数解析式．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到是等腰直角三角形，用中点公式算出D点坐标．
16. 如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

【答案】
【解析】
【分析】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，用含有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【详解】设大正方形的边长为2a，则大等腰直角三角形的腰长为，中等腰直角三角形的腰长为a，小等腰直角三角形的腰长为，小正方形的边长为，平行四边形的长边为a，短边为，如图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC==，CD=a,DQ=，
∵点A的横坐标为1,
∴+a+=1，
∴a=；

根据题意，得FM=PM=，MH=，
∴FH==；
∴MT=2a-，BT=2a-,
∴TN=-a，
∴MN=MT+TN=2a-+-a==，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-，）
故答案为：（-，）．
【点睛】本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17. 解下列方程（组）：
（1） （2）
（3）
【答案】（1）x=30；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）利用加减消元法求解可得；
（3）由第个方程得出，代入第个方程得出，据此联立得到关于、的二元一次方程组，进一步求解可得.
【详解】（1）去分母，得：2x-3（30-x）=60，
去括号，得：2x-90+3x=60，
移项，得：2x+3x=60+90，
合并同类项，得：5x=150，
系数化为1，得：x=30；
，
②×2-①，得：5x=10，
解得：x=2，
将x=2代入②，得：6+y=8，
解得：y=2，
∴方程组的解为；
（3），
由①，得③，
将③代入②，得，
整理，得：3x+4y=4,
则，
解得：.
【点睛】此题考查了解一元一次方程与二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
18. 如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东60°方向上．乙留在原地休息，甲继续向前走了40米到B处，此时测得乙在其北偏东30°方向上．求道路的宽（参考数据：）

【答案】道路的宽约为34.64米.
【解析】
【分析】过C作的垂线，设垂足为D．易知，得米；在中，可用正弦函数求出DC的长．
【详解】过点C作于点D，则CD的长即为道路的宽.

由题意得.
∵是的一个外角，
∴．
∴，
故．
在中，，
∴．
∴道路的宽约为米.
【点睛】本题主要考查了方向角的含义，能够发现是等腰三角形，并正确的构建出直角三角形是解答此题的关键．
19. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）：

（1）报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整；
（2）扇形图中m= ，n= ；
（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．
【答案】（1）参加民族乐器的有30人，作图略；（2）25，108；（3），作图略．
【解析】
【详解】（1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图；
（2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可；
（3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%，
∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人，
参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人，
统计图为：

（2）∵m%=×100%=25%，∴m=25，
n=×360=108，
故答案为25，108；
（3）树状图分析如下：

∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种，
∴P（选中甲、乙）==．
“点睛”本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．
（1）求证：△BED≌△BCD；
（2）若∠A＝36°，求∠CFD的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）63°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据三角形的内角和和三角形外角以及平行线的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴ED＝DC，
在Rt△BED与Rt△BCD中
，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝27°，
∴∠BDC＝63°，
∵CF∥BD，
∴∠CFD＝∠BDC＝63°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线的性质和全等三角形的判定解答．
21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较大小：　 　（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接写出时的取值范围．

【答案】（1）；（2）＝；（3）时的取值范围是或．
【解析】
【分析】（1）把A（3，4）代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入B（a，-2）），求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）把代入反比例函数得，
，解得，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得a＝﹣6，
∴，
∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由一次函数的解析式为可知，，
∴，，
∴，
故答案为＝；
（3）由图象可知：时的取值范围是或．
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
22. （1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．
（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．

【答案】（1），，证明见解析；（2）133米
【解析】
【分析】（1）首先要正确画出图形，根据平行四边形的性质进行证明即可．
（2）作射线、分别于相交于点、，然后即可确定盲区；先根据路程速度时间求出的长度，然后过点作，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出的长度，也就是小明家到公路的距离．
【详解】解：（1），
证明：延长到，使，连接．

，，
．
，．
．
，
．
四边形是平行四边形．
，．
∴三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
（2）解：过作于，交于


则，
设则，

答：小华家到公路的距离是133米.
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的应用，相似三角形对应高的比等于对应边的比的性质，根据题意作出图形构造出相似三角形是解题的关键．
23. 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与直线AC交于点F，直接写出BF的长．
【答案】（1）
（2）存在，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法解答；
（2）设D（x，y），根据题意及利用三角形面积列出方程，求出y的值后代入抛物线的解析式即可解答
（3）由勾股定理解得AC的长，再根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作x轴于点M，由平行线分线段成比例解得FM的长，求得点F的坐标，最后根据两点间的距离公式解答．
【小问1详解】
解：把点代入抛物线得



【小问2详解】
由题意可知




设D（x，y），


当y=3时，由
解得：或
此时点D的坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=-3时，由
解得：或（舍去）
此时点D的坐标为（5，-3）；
综上所述，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；
【小问3详解】



为直角三角形，即
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作x轴于点M，

由题意得，









．
【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、平行线分线段成比例、两点间的距离公式等，关键是利用面积关系求出点D的坐标．
24. 如图，点A与点B的坐标分别是，，点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使的点P有________个；
（2）若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由．
【答案】（1）无数 （2），，，
（3）当点P在y轴上移动时，有最大值，此时点P的坐标为和
【解析】
【分析】（1）已知点A．点B是定点，要使，只需点P在过点A．点B的圆上，且弧所对的圆心角为即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要最大，只需构造过点A．点B且与y轴相切的圆，切点就是使得最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
小问1详解】
以为边，在第一象限内作等边三角形，
以点C为圆心，为半径作，交y轴于点，．
在优弧上任取一点P，如图，

则．
∴使的点P有无数个，
故答案为：无数；
【小问2详解】
①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作，垂足为G，如图．

∵点A与点B的坐标分别是，，
∴，，
∴，
∵点C为圆心，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴,
∴点C的坐标为．
过点C作轴，垂足为D，连结，如图，

∵点C的坐标为，
∴，，
∵，是与y轴的交点，
∴，
∵，，
∴，
∵点C为圆心，，
∴，
∴，，
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：，，
综上所述：满足条件的点P的坐标有：，，，；
【小问3详解】
当过点A，B的与y轴相切于点P时，最大．
①当点P在y轴正半轴上时，
连结，作轴，垂足为H，如图．

∵与y轴相切于点P，
∴．
∵，，
∴．
∴四边形是矩形．
∴，．
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：．
理由：①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连结，，交于点N，连结，如图所示．

∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为和．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理以及勾股定理等知识，掌握圆周角定理，切线的性质，垂径定理等圆的相关性质，构造合理的辅助线是解答本题的关键．