四川省自贡市第一中学2022-2023学年高一数学下学期6月月考试题（Word版附解析）

自贡一中高一6月月考试题

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一项是符合要求的）

1. 设复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简求值即可.

【详解】由，得，

故选：D．

2. 已知向量，，若向量与向量共线，则（    ）

A. －3 B.

C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标关系得，解方程即可得答案.

【详解】根据题意得，解得．

故选:B．

【点睛】已知向量，若，则.

3. 下列说法中不正确的是（    ）

A. 向量的模可以比较大小 B. 平行向量就是共线向量

C. 对于任意向量，必有 D. 对于任意向量，必有

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数量积的定义即可判断CD.

【详解】A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；

B：平行向量就是共线向量，故B正确；

C：由，得，故C正确；

D：，，

又，所以，故D错误.

故选：D.

4. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

B. 若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差

D. 甲成绩比乙成绩稳定

【答案】B

【解析】

【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况即可作出判断.

【详解】对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；

对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以，B错误，

对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；

对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确.

故选：B

5. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的几何意义与四则运算求解，

【详解】由题意得，则，

故选：B

6. 已知，，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小.

【详解】由，则，又，故，

所以，而，则，

，

又，则.

故选：D

7. 在中，，，，外接圆圆心为O，则（    ）

A. 8 B.  C.  D. 18

【答案】A

【解析】

【分析】由外心性质化简后计算

【详解】由题意得O为外心，故．

故选：A

8. 如图，点C是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ）

A. 1 B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.

【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，

，，，

设，，

时，取得最大值是.

故选：C.

二、多选题（每小题5分，共20分．漏选得2分，多选或错选不得分）

9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（    ）

A. ·= 1 B.

C.  D. 在上的投影向量的模为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：∵，

∴与不垂直，故B错误；

对于C：∵，

∴，故C正确；

对于D：在上的投影向量的模为，故D错误.

故选：AC.

10. 为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是（    ）

A. 甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同

B. 甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大

C. 乙车间优秀人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数个为优秀）

D. 甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据表中的数据，对各选项依次判断即可.

【详解】对于A，甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数都是135，故A正确；

对于B，甲车间的方差191大于乙车间的方差110，甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大，故B正确；

对于C，在平均数相同的情况下，乙的中位数大于甲的中位数，所以乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数，故C正确；

对于D，根据表中数据无法判断甲乙两车间的众数的大小，故D不正确.

故选：ABC

11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ）

A. a＝7，b＝14，A＝30°，有两解

B. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

C. ，，A＝60°，无解

D. a＝6，b＝9，A＝45°，有两解

【答案】BC

【解析】

【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断即可判断出正误.

【详解】选项A，由正弦定理，得，又，故，则三角形有一解，故选项A错误；

选项B，因为，所以，则三角形有一解，故选项B正确；

选项C，因为，所以，则三角形无解，故选项C正确；

选项D，因为，所以，则三角形无解，故选项D错误.

故选：BC

12. 已知，下面结论正确的是（    ）

A. 若，，且的最小值为，则

B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称

C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是

D. 若在上单调递增，则的取值范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解.

【详解】由已知，，

选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误；

选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确；

选项C，由函数在上恰有7个零点可得：，故该选项正确；

选项D，由函数在上单调递增可得：，解得：，又因为，所以的取值范围是，该选项正确.

故选：BCD.

卷Ⅱ（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 复数，则__________.

【答案】##0.8

【解析】

【分析】利用复数代数形式的除法运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果．

详解】，

，则.

故答案为：.

14. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据分层抽样的方法，各组抽取数按比例分配进行计算即可.

【详解】根据分层抽样的方法，乙组中应抽取的城市数为.

故答案为：3.

15. 若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．

【答案】##

【解析】

【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.

【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，

所以 且，则 ，

故 ，又，则.

故答案为:.

16. 据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．

【答案】##

【解析】

【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.

【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．

设台风移动小时后的位置为，则.

又，，

在中，由余弦定理，得，

由可得，，

整理可得，，

解得，

又，

所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．

故答案为：.

四、解答题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知分别为内角对边，且．

（1）求角A；

（2）若，求c．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接通过正弦定理得到，即可求出角A；

（2）直接余弦定理求解即可.

【小问1详解】

由正弦定理及，得．

，即，

．

【小问2详解】

，

由余弦定理，

可得：，可得：，

解得或（负值舍去）．

∴.

18. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值和第60百分位数；

（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；

（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

【答案】（1），85   

（2）10人    （3）“美食”工作需要进一步整改，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据频率分布图，求得.然后推得第60百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案；

（2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数；

（3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案.

【小问1详解】

由图可知：，

解得.

因为，内的频率为，内的频率为，

所以，第60百分位数位于区间内，设为，

则，

所以，第60百分位数为85.

【小问2详解】

低于80分的学生中三组学生的人数比例为，

则应选取评分在的学生人数为：（人）.

【小问3详解】

由图可知，认可程度平均分为：

，

所以，“美食”工作需要进一步整改.

19. 已知向量，．

（1）设，求的最小值；

（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】由平面向量的坐标计算即可.

【小问1详解】

由题意得：，

所以

所以当时，取得最小值为.

【小问2详解】

由于，，向量与向量的夹角为钝角，

所以，且向量与向量不能共线，即

即

所以，

故实数t的取值范围为：

20. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

（1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；

（2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.

【答案】（1）   

（2）转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.

【解析】

【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；

（2）要求，即，解不等式即可

【小问1详解】

依题意知，，，，

由，解得，所以，

因为，所以，又，所以，

所以，

所以，

即时点距离地面的高度为；

【小问2详解】

令，即，

解得，

即，

又，

所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.

21. 在条件①：，：条件②：，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知的内角，，所对的边分别是，，，且，若________．

（1）的值；

（2）和的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案见解析．

【解析】

【分析】选择条件①，利用余弦定理进行列式，结合，可得出关于的方程，可解出的值，再利用同角三角函数的平方关系结合三角形的面积公式可求得结果；

选择条件②，求出、的值，利用正弦定理结合求得的值，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积．

【详解】选择条件①（1），，

，

（2），，

由正弦定理得：，，

选择条件②（1），，

，

由正弦定理得：，，

（2）

22. 已知.

（1）若，求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有4个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简求得解析式，根据，求得的值，进而求得的值；

（2）先求得，根据函数在上有4个零点，可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

若，即，

则.

【小问2详解】

易知，

根据题意，设，

因为，所以，

所以，所以，

所以原方程变为，

令

因为原方程有4个零点，而方程在至多两个根，

所以，且在有两个零点，

则，解得，
 

即.