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2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( )
A. 0.778×105 B. 7.78×104 C. 77.8×103 D. 778×102
3. 某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6.请问这组评分的众数是( )
A. 9.5 B. 9.4 C. 9.1 D. 9.3
4. 若关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
6. 如图，小明在点A处仰头45°看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻望向楼顶D处的仰角为60°，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为( )
A. 2秒 B. 2 3秒
C. 2 33秒 D. 条件不足，无法计算
7. 如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB−BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF//BD，EF与边AD(或边CD)交于点F，EF的长度y(cm)与点E的运动时间x(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为( )
A. 1：3
B. 1：2
C. 2：2
D. ( 2−1)：1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 4=______．
10. 因式分解：b2−9= ______ ．
11. 某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查.从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数约为 ．
12. 如图，若反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值为______ ．
13. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______ 元.
14. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,2)，(6,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为______ ．
15. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，动点E，F从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后停止运动.设运动时间为t(s)，△AEF的面积为y，y与t的大致函数关系如图2所示.则当y= 34时，t的值为______ ．
16. 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=3，BC=5，AE=2 5，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD=DE.F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD=45°，则AF长为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 计算：|− 3|−(−4)−1+(π 3−2)0−2cos30°．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
解不等式组4(x+1)≤7x+10x−5
已知2x2+x−1=0，求代数式(x+2)(x−2)+x(x+1)的值．
20. (本小题6.0分)
一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
(1)估计摸到红球的概率是______ ；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在(2)的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求n的值．
21. (本小题6.0分)
为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x<70
17
0.17
B
70≤x<80
30
a
C
80≤x<90
b
0.45
D
90≤x<100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)表中a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE=DF，∠A=∠D．
求证：(1)AB=CD．
(2)若AB=CF，∠B=36°，求∠D的度数．
23. (本小题8.0分)
新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节.2023年植树节，某填开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗.已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的12，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
24. (本小题8.0分)
如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(0
(2)当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
25. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC=BD，∠CBD=2∠CBA．
(1)证明：直线CD为⊙O的切线；
(2)射线DC与射线BA交于点E，若AE=AB=6，求BD的长．
26. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
27. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．
(1)求证：△DEP∽△CEB；
(2)如图1，若BEBC=34，求EFDF的值；
(3)如图2，在(2)的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=5，请直接写出GF+GQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：77800=7.78×104，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
直接根据众数的概念求解即可．
【解答】
解：∵这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．
∴这组评分的众数为9.3，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，得：Δ=42−4×1×c>0，
解得c<4，
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42−4×1×c>0，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：延长BC交AD于E点，如图，设直升机的飞行速度为x米/秒，直升机从C点飞到E点用了t秒
根据题意得BC=2x(米)，CE=xt(米)，
在Rt△ABC中，∵∠B=45°，
∴AC=BC=2x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE=30°，
∴AC= 3CE，
即2x= 3xt，
解得t=2 33，
所以直升机被大楼遮住之前，能录像的时长为2 33秒．
故选：C．
延长BC交AD于E点，如图，设直升机的飞行速度为x米/秒，直升机从C点飞到E点用了t秒，则BC=2x(米)，CE=xt(米)，利用∠B=45°得到AC=BC=2x，然后利用∠CAE=30°得到2x= 3xt，则解方程求出t即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角与俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，EF//BD，
∴当0≤x≤4时，y= 2x，
当4
故选：A．
根据运动速度乘以时间，根据勾股定理，可得EF长，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质，等腰三角形以及相似三角形的性质，连接切线，以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
根据切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质进行计算即可．
【解答】
解：如图，连接OC，过点B作BM⊥AE于M，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
∴90°=∠OCD+∠BCD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠DCA=180°−90°=90°=∠BCD+∠BCA，
∴∠OCD=∠BCA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠BCA，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°=∠E+∠ODC，
∴∠A=∠ODC，
∴∠A=∠BCA，
∴BA=BC，
又∵BM⊥AC，
∴AM=MC=12AC，
∵∠A=∠CDE，∠AMB=∠DCE=90°，
∴△ABM∽△DEC，
∵CA=CD，
∴AMDC=12=BMEC，
，
故选：B．
9.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即 4=2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】(b+3)(b−3)
【解析】解：b2−9=(b+3)(b−3)．
故答案为：(b+3)(b−3)．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
11.【答案】900
【解析】
【分析】
本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的分率，列出算式计算即可求解．
【解答】
解：1200×300400=900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．
12.【答案】−6
【解析】解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB=12|k|=3，
∴k=±6，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k<0，
∴k=−6，
故答案为：−6．
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】10
【解析】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，
根据题意得：(65−x−45)(30+5x)=800，
解得：x1=4，x2=10．
∵要尽快减少库存，
∴x=10．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
设每件降价x元则每件的盈利为(65−x−45)元，每天可出售(30+5x)件，由总利润=每件的盈利×日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(4,4)，A(0,2)，B(6,2)．
∴PM=2，PE=4，AB=6，
∵AB//CD，
∴ABCD=PMPE．
∴6CD=24，
∴CD=12，
故答案为：12．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
15.【答案】1或3+ 52
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，由图2得：
AD=BC=3−2=1，AB=CD=2，
当0
∴AEF是等边三角形，
∴y=12×t× 32t= 34t2
当y= 34时， 34= 34t2
解得t=1或t=−1(舍去)；
当1
∴DG=AD⋅sin60°= 32，
∵AE=t，
∴y=12AE⋅DG=12t× 32= 34t，
当y= 34时， 34t= 34，
解得t=1(舍去)；
当2
BE=t−2，CE=CF=3−t，DF=t−1，
∴y=S△AEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△ADF−S△CEF
=2× 32−12×2×(t−2)× 32−12× 32(t−1)−12× 32(3−t)2
=− 34t2+3 34t，
当y= 34时， 34=− 34t2+3 34t，
解得t=3+ 52或t=3− 52(舍去)，
综上所述得：当y= 34时．t=1或t=3+ 52．
故答案为：1或3+ 52．
因为E、F运动到不同位置时，△AEF的面积不同，所以对t的取值范围进行分类，0
16.【答案】3 54
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【解答】
解：过D作DG⊥BD，交BF的延长线于点G，
∵∠FBD=45°，
则△BDG是等腰直角三角形，BD=GD，
△CDE是等腰直角三角形，
又∠EDG=90∘−∠BDE=∠CDB，CD=DE，
在△BDC和△GDE中，
BD=GD∠CDB=∠EDGDC=DE,
∴△BDC≌△GDE(SAS)，
∴GE=BC=5，∠DGE=∠DBC，
∠ABF+∠DBC=∠ABC−∠FBD=45∘，
∠EGF+∠DGE=45∘，
∴∠ABF=∠EGF，
∴AB//GE，
∴△ABF∽△EGF，
ABEG=AFEF=AFAE−AF
∵AE=2 5，
∴35=AF2 5−AF，
∴AF=3 54，
故答案为：34 5．
17.【答案】解：原式= 3+14+1−2× 32=54．
【解析】按照实数的运算法则依次计算，注意|− 3|= 3，(−4)−1=−14，(π 3−2)0=1．
本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a−p=1ap.任何不等于0的数的0次幂是1．
18.【答案】解：解不等式4(x+1)≤7x+10，得：x≥−2，
解不等式x−5
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(x+2)(x−2)+x(x+1)
=x2−4+x2+x
=x2+x2+x−4
=2x2+x−4，
∵2x2+x−1=0，
∴2x2+x=1，
∴当2x2+x=1时，原式=1−4=−3．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把2x2+x=1代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】35
【解析】解：(1)∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的频率在0.6，
∴估计摸到红球的概率是610=35，
故答案为：35；
(2)设袋子中有m个球，
根据题意，得12m=410，
解得m=30，
经检验m=30是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
(3)根据题意得：12+n30+n=710，
解得：n=30，
经检验n=30是分式方程的解，
所以n=30．
(1)利用频率估计概率即可得出答案；
(2)设袋子中原有m个球，根据题意得12m=0.4，解之即可得出答案；
(3)根据题意得12+n30+n=710，解之即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21.【答案】解：(1)0.3，45；
(2) 360°×0.3=108°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；
(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．
【解析】
解：(1)本次调查的总人数为17÷0.17=100(人)，
则a=30100=0.3，b=100×0.45=45(人)，
故答案为：0.3，45；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
(2)B组的频率乘以360°即可求得答案；
(2)列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠C=∠BAE=DF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD；
(2)解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=36°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=12×(180°−36°)=72°．
【解析】(1)易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；
(2)易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=36°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
23.【答案】解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为x元，y元，
根据题意，得25x+10y=125015x+5y=700，
解方程组，得x=30y=50，
∴购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元．
(2)设购买甲种树苗m棵，则乙种树苗(30−m)棵，
根据题意，得30m+50(30−m)≤130030−m≥12m，
解不等式组，得10≤m≤20，
∴购买甲种树苗数量的取值范围是10≤m≤20．
【解析】(1)设购买甲，乙两种树苗的单价分别为x元，y元，根据题意列方程，求解即可；
(2)设购买甲种树苗m棵，根据题意列一元一次不等式组，求解不等式组即可．
本题考查了二元一次方程组应用和一元一次不等式组应用，根据题意建立二元一次方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=2x+6经过点A(1,m)，
∴m=2×1+6=8，
∴A(1,8)，
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点A(1,8)，
∴k=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
(2)由题意可知，
函数y=8x中，当y=n时，x=8n
函数y=2x+6中，当y=n时，x=n−62
∴点M，N的坐标为M(8n,n)，N(n−62,n)，
∵0
∴S△BMN=12MN⋅n=12×(8n−n−62)×n=−14n2+32n+4，
∴S△BMN=−14(n−3)2+254，
∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为254．
【解析】(1)将点A(1,m)代入直线y=2x+6即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出；
(2)由y=n求得M、N的坐标，进而求得△BMN面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值，掌握数形结合的思维是解题关键．
25.【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，OC=OB=OA，
∴∠ACB=90°，∠OCB=∠OBC，
∴∠AOC=2∠OCB，
∵∠CBD=2∠CBA，
∴∠AOC=∠CBD，
∵BC=BD，OA=OC，
∴∠BCD=180°−∠CBD2,∠ACO=180°−∠AOC2，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴直线CD为⊙O的切线；
(2)如图所示：
由(1)可知∠ACO=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠BCD，
∵∠ECB+∠BCD=180°，∠EAC+∠OAC=180°，
∴∠EAC=∠ECB，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴EAEC=ECEB，即EC2=EA⋅EB，
∵AE=AB=6，
∴EB=12，
∴EC=6 2，
∴ACCB=ECEB= 22，
设AC= 2x,CB=2x，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：2x2+4x2=36，
解得：x= 6(负根舍去)，
∴BC=2 6=BD．
【解析】(1)连接OC，由题意易得∠ACB=90°，∠OCB=∠OBC，然后可得∠ACO=∠BCD，则有∠OCD=90°，进而问题可求证；
(2)由(1)可知∠ACO=∠BCD，则有∠OAC=∠BCD，然后可得∠EAC=∠ECB，则可知△EAC∽△ECB，进而可得EC=6 2，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1,0)，B(3,0)，
∴a−b+2=09a+3b+2=0,
解得：a=−23b=43,
∴该二次函数的表达式为y=−23x2+43x+2；
(2)存在，理由如下：
如图1，当点P1在BC上方时，
若∠P1CB=∠ABC，
则CP1//AB，即CP1//x轴，
∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，
∵y=−23x2+43x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−432×(−23)=1，
∵C(0,2)，
∴P1(2,2)；
当点P2在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，
则OD=m，BD=3−m，
∵∠P2CB=∠ABC，
∴CD=BD=3−m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=(3−m)2，
解得：m=56，
∴D(56,0)，
设直线CD的表达式为y=kx+d，则56k+d=0d=2,
解得：k=−125d=2,
∴直线CD的表达式为y=−125x+2，
联立，得y=−125x+2y=−23x2+43x+2,
解得：x1=0y1=2(舍去)，x2=285y2=−28625,
∴P(285,−28625)，
综上所述，点P的坐标为(2,2)或(285,−28625)；
(3)由(2)知：抛物线y=−23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E(1,0)，
设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解得：e=−23t+2f=−23t+2,
∴直线AQ的表达式为y=(−23t+2)x−23t+2，
当x=1时，y=−43t+4，
∴M(1,−43t+4)，
同理可得直线BQ的表达式为y=(−23t−23)x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N(1,43t+43)，
∴EM=−43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=−43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
【解析】
【分析】
(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP1//x轴，可得P1(2,2)；当点P在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，则OD=m，BD=3−m，利用勾股定理即可求得m=56，得出D(56,0)，再运用待定系数法求得直线CD的表达式为y=−125x+2，通过联立方程组求解即可得出P2(285,−28625)；
(3)设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1,0)，B(3,0)，
解得：
∴该二次函数的表达式为y=−23x2+43x+2；
(2)存在，理由如下：
如图1，当点P1在BC上方时，
若∠P1CB=∠ABC，
则CP1//AB，即CP1//x轴，
∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，
∵y=−23x2+43x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−432×(−23)=1，
∵C(0,2)，
∴P1(2,2)；
当点P2在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，
则OD=m，BD=3−m，
∵∠P2CB=∠ABC，
∴CD=BD=3−m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=(3−m)2，
解得：m=56，
∴D(56,0)，
设直线CD的表达式为y=kx+d，则
解得：
∴直线CD的表达式为y=−125x+2，
联立，得
解得：舍去)，
∴P(285,−28625)，
综上所述，点P的坐标为(2,2)或(285,−28625)；
(3)由(2)知：抛物线y=−23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E(1,0)，
设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解得：e=−23t+2f=−23t+2，
∴直线AQ的表达式为y=(−23t+2)x−23t+2，
当x=1时，y=−43t+4，
∴M(1,−43t+4)，
同理可得直线BQ的表达式为y=(−23t−23)x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N(1,43t+43)，
∴EM=−43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=−43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线的性质及应用，等腰三角形的判定，二次函数的性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，掌握相关知识并能综合运用是解题关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠B=∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠DCE，
∵DP⊥CE，点P为CE的中点，
∴CD=DE，∠DPE=90°，
∴∠DCE=∠DEP，
∴∠DPE=∠B，∠DEP=∠BEC，
∴△DEP∽△CEB；
(2)解：如图1，延长AP交DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠H=∠PAE，
∵点P为CE的中点，
∴PC=PE，
在△PCH和△PEA中，
∠H=∠PAE∠CPH=∠EPAPC=PE，
∴△PCH≌△PEA(AAS)，
∴CH=AE，PH=PA，
∵BEBC=34，设BE=3k(k>0)，则BC=AD=4k，∠B=90°，
∴EC= BE2+BC2+BC2= (3k)2+(4k)2=5k，
∴PE=PC=12EC=52k，
∵△DEP∽△CEB，
∴DEEC=DPBC=PEBE，即DE5k=DP4k=52k3k，
∴DE=256k，DP=103k，
由(1)知：CD=DE，
∴CD=AB=256k，
∴AE=CH=AB−BE=256k−3k=76k，
∴DH=CD+CH=256k+76k=163k，
∵AB//DH，
∴△AEF∽△HDF，
∴EFDF=AEDH=76k163k=732；
(3)解：∵DP是线段CE的垂直平分线，
∴直线DP是△DCE的对称轴，
作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′=DQ，连接GQ、GQ′、GF，
当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′⊥CD时，GF+GQ=GF+GQ′=FQ′最小，
由(2)知：PE=PC=52k，
∵CP=5，
∴52k=5，
解得：k=2，
∴DE=256k=253，AE=76k=73，AD=4k=8，
∵EFDF=732，
∴DF=3239DE=3239×253=800117，
∵FQ′⊥CD，
∴∠DQ′F=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠DQ′F=180°，
∴FQ′//AD，
∴△FDQ′∽△DEA，
∴FQ′AD=DFDE，即FQ′8=800117253，
∴FQ′=3239，
∴GF+GQ的最小值为3239．
【解析】(1)由矩形性质可得：AB//CD，∠B=∠BCD=90°，由平行线性质可得∠BEC=∠DCE，再由线段垂直平分线性质和等腰三角形性质可推出∠DCE=∠DEP，即可证明结论；
(2)如图1，延长AP交DC的延长线于点H，可证得△PCH≌△PEA(AAS)，得出：CH=AE，PH=PA，设BE=3k(k>0)，则BC=AD=4k，利用勾股定理可得EC=5k，再由△DEP∽△CEB，可得出DE=256k，DP=103k，再利用△AEF∽△HDF，即可求得答案；
(3)由于直线DP是△DCE的对称轴，作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′=DQ，连接GQ、GQ′、GF，当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′⊥CD时，GF+GQ=GF+GQ′=FQ′最小，由CP=5，可求得k=2，再由FQ′//AD，可得△FDQ′∽△DEA，利用相似三角形性质即可求得GQ′的值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称中的路径最短问题，直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，第(2)添加辅助线构造全等三角形是解题关键；第(3)中，找出GF+GQ的最小值是解题的关键．
2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( )
A. 0.778×105 B. 7.78×104 C. 77.8×103 D. 778×102
3. 某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6.请问这组评分的众数是( )
A. 9.5 B. 9.4 C. 9.1 D. 9.3
4. 若关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
6. 如图，小明在点A处仰头45°看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻望向楼顶D处的仰角为60°，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为( )
A. 2秒 B. 2 3秒
C. 2 33秒 D. 条件不足，无法计算
7. 如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB−BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF//BD，EF与边AD(或边CD)交于点F，EF的长度y(cm)与点E的运动时间x(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为( )
A. 1：3
B. 1：2
C. 2：2
D. ( 2−1)：1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 4=______．
10. 因式分解：b2−9= ______ ．
11. 某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查.从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数约为 ．
12. 如图，若反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值为______ ．
13. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______ 元.
14. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,2)，(6,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为______ ．
15. 如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，动点E，F从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后停止运动.设运动时间为t(s)，△AEF的面积为y，y与t的大致函数关系如图2所示.则当y= 34时，t的值为______ ．
16. 已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=3，BC=5，AE=2 5，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD=DE.F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD=45°，则AF长为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 计算：|− 3|−(−4)−1+(π 3−2)0−2cos30°．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
解不等式组4(x+1)≤7x+10x−5
已知2x2+x−1=0，求代数式(x+2)(x−2)+x(x+1)的值．
20. (本小题6.0分)
一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
(1)估计摸到红球的概率是______ ；
(2)如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
(3)在(2)的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求n的值．
21. (本小题6.0分)
为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x<70
17
0.17
B
70≤x<80
30
a
C
80≤x<90
b
0.45
D
90≤x<100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)表中a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE=DF，∠A=∠D．
求证：(1)AB=CD．
(2)若AB=CF，∠B=36°，求∠D的度数．
23. (本小题8.0分)
新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节.2023年植树节，某填开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗.已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗的单价；
(2)经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的12，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
24. (本小题8.0分)
如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(0
(2)当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
25. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC=BD，∠CBD=2∠CBA．
(1)证明：直线CD为⊙O的切线；
(2)射线DC与射线BA交于点E，若AE=AB=6，求BD的长．
26. (本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
27. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．
(1)求证：△DEP∽△CEB；
(2)如图1，若BEBC=34，求EFDF的值；
(3)如图2，在(2)的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=5，请直接写出GF+GQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】B
【解析】解：77800=7.78×104，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
直接根据众数的概念求解即可．
【解答】
解：∵这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．
∴这组评分的众数为9.3，
故选：D．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，得：Δ=42−4×1×c>0，
解得c<4，
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42−4×1×c>0，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
6.【答案】C
【解析】解：延长BC交AD于E点，如图，设直升机的飞行速度为x米/秒，直升机从C点飞到E点用了t秒
根据题意得BC=2x(米)，CE=xt(米)，
在Rt△ABC中，∵∠B=45°，
∴AC=BC=2x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE=30°，
∴AC= 3CE，
即2x= 3xt，
解得t=2 33，
所以直升机被大楼遮住之前，能录像的时长为2 33秒．
故选：C．
延长BC交AD于E点，如图，设直升机的飞行速度为x米/秒，直升机从C点飞到E点用了t秒，则BC=2x(米)，CE=xt(米)，利用∠B=45°得到AC=BC=2x，然后利用∠CAE=30°得到2x= 3xt，则解方程求出t即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角与俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，EF//BD，
∴当0≤x≤4时，y= 2x，
当4
故选：A．
根据运动速度乘以时间，根据勾股定理，可得EF长，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质，等腰三角形以及相似三角形的性质，连接切线，以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
根据切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质进行计算即可．
【解答】
解：如图，连接OC，过点B作BM⊥AE于M，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
∴90°=∠OCD+∠BCD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠DCA=180°−90°=90°=∠BCD+∠BCA，
∴∠OCD=∠BCA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠BCA，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°=∠E+∠ODC，
∴∠A=∠ODC，
∴∠A=∠BCA，
∴BA=BC，
又∵BM⊥AC，
∴AM=MC=12AC，
∵∠A=∠CDE，∠AMB=∠DCE=90°，
∴△ABM∽△DEC，
∵CA=CD，
∴AMDC=12=BMEC，
，
故选：B．
9.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即 4=2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】(b+3)(b−3)
【解析】解：b2−9=(b+3)(b−3)．
故答案为：(b+3)(b−3)．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
11.【答案】900
【解析】
【分析】
本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的分率，列出算式计算即可求解．
【解答】
解：1200×300400=900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．
12.【答案】−6
【解析】解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB=12|k|=3，
∴k=±6，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k<0，
∴k=−6，
故答案为：−6．
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】10
【解析】解：设每件降价x元，则每件的销售利润为(65−x−45)元，每天可售出(30+5x)件，
根据题意得：(65−x−45)(30+5x)=800，
解得：x1=4，x2=10．
∵要尽快减少库存，
∴x=10．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
设每件降价x元则每件的盈利为(65−x−45)元，每天可出售(30+5x)件，由总利润=每件的盈利×日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(4,4)，A(0,2)，B(6,2)．
∴PM=2，PE=4，AB=6，
∵AB//CD，
∴ABCD=PMPE．
∴6CD=24，
∴CD=12，
故答案为：12．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
15.【答案】1或3+ 52
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，由图2得：
AD=BC=3−2=1，AB=CD=2，
当0
∴AEF是等边三角形，
∴y=12×t× 32t= 34t2
当y= 34时， 34= 34t2
解得t=1或t=−1(舍去)；
当1
∴DG=AD⋅sin60°= 32，
∵AE=t，
∴y=12AE⋅DG=12t× 32= 34t，
当y= 34时， 34t= 34，
解得t=1(舍去)；
当2
BE=t−2，CE=CF=3−t，DF=t−1，
∴y=S△AEF=S四边形ABCD−S△ABE−S△ADF−S△CEF
=2× 32−12×2×(t−2)× 32−12× 32(t−1)−12× 32(3−t)2
=− 34t2+3 34t，
当y= 34时， 34=− 34t2+3 34t，
解得t=3+ 52或t=3− 52(舍去)，
综上所述得：当y= 34时．t=1或t=3+ 52．
故答案为：1或3+ 52．
因为E、F运动到不同位置时，△AEF的面积不同，所以对t的取值范围进行分类，0
16.【答案】3 54
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【解答】
解：过D作DG⊥BD，交BF的延长线于点G，
∵∠FBD=45°，
则△BDG是等腰直角三角形，BD=GD，
△CDE是等腰直角三角形，
又∠EDG=90∘−∠BDE=∠CDB，CD=DE，
在△BDC和△GDE中，
BD=GD∠CDB=∠EDGDC=DE,
∴△BDC≌△GDE(SAS)，
∴GE=BC=5，∠DGE=∠DBC，
∠ABF+∠DBC=∠ABC−∠FBD=45∘，
∠EGF+∠DGE=45∘，
∴∠ABF=∠EGF，
∴AB//GE，
∴△ABF∽△EGF，
ABEG=AFEF=AFAE−AF
∵AE=2 5，
∴35=AF2 5−AF，
∴AF=3 54，
故答案为：34 5．
17.【答案】解：原式= 3+14+1−2× 32=54．
【解析】按照实数的运算法则依次计算，注意|− 3|= 3，(−4)−1=−14，(π 3−2)0=1．
本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；a−p=1ap.任何不等于0的数的0次幂是1．
18.【答案】解：解不等式4(x+1)≤7x+10，得：x≥−2，
解不等式x−5
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(x+2)(x−2)+x(x+1)
=x2−4+x2+x
=x2+x2+x−4
=2x2+x−4，
∵2x2+x−1=0，
∴2x2+x=1，
∴当2x2+x=1时，原式=1−4=−3．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把2x2+x=1代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】35
【解析】解：(1)∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的频率在0.6，
∴估计摸到红球的概率是610=35，
故答案为：35；
(2)设袋子中有m个球，
根据题意，得12m=410，
解得m=30，
经检验m=30是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
(3)根据题意得：12+n30+n=710，
解得：n=30，
经检验n=30是分式方程的解，
所以n=30．
(1)利用频率估计概率即可得出答案；
(2)设袋子中原有m个球，根据题意得12m=0.4，解之即可得出答案；
(3)根据题意得12+n30+n=710，解之即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21.【答案】解：(1)0.3，45；
(2) 360°×0.3=108°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；
(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．
【解析】
解：(1)本次调查的总人数为17÷0.17=100(人)，
则a=30100=0.3，b=100×0.45=45(人)，
故答案为：0.3，45；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
(2)B组的频率乘以360°即可求得答案；
(2)列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠C=∠BAE=DF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD；
(2)解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=36°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=12×(180°−36°)=72°．
【解析】(1)易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；
(2)易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=36°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
23.【答案】解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为x元，y元，
根据题意，得25x+10y=125015x+5y=700，
解方程组，得x=30y=50，
∴购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元．
(2)设购买甲种树苗m棵，则乙种树苗(30−m)棵，
根据题意，得30m+50(30−m)≤130030−m≥12m，
解不等式组，得10≤m≤20，
∴购买甲种树苗数量的取值范围是10≤m≤20．
【解析】(1)设购买甲，乙两种树苗的单价分别为x元，y元，根据题意列方程，求解即可；
(2)设购买甲种树苗m棵，根据题意列一元一次不等式组，求解不等式组即可．
本题考查了二元一次方程组应用和一元一次不等式组应用，根据题意建立二元一次方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=2x+6经过点A(1,m)，
∴m=2×1+6=8，
∴A(1,8)，
∵反比例函数y=kx(k>0)经过点A(1,8)，
∴k=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
(2)由题意可知，
函数y=8x中，当y=n时，x=8n
函数y=2x+6中，当y=n时，x=n−62
∴点M，N的坐标为M(8n,n)，N(n−62,n)，
∵0
∴S△BMN=12MN⋅n=12×(8n−n−62)×n=−14n2+32n+4，
∴S△BMN=−14(n−3)2+254，
∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为254．
【解析】(1)将点A(1,m)代入直线y=2x+6即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出；
(2)由y=n求得M、N的坐标，进而求得△BMN面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值，掌握数形结合的思维是解题关键．
25.【答案】解：(1)证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，OC=OB=OA，
∴∠ACB=90°，∠OCB=∠OBC，
∴∠AOC=2∠OCB，
∵∠CBD=2∠CBA，
∴∠AOC=∠CBD，
∵BC=BD，OA=OC，
∴∠BCD=180°−∠CBD2,∠ACO=180°−∠AOC2，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴直线CD为⊙O的切线；
(2)如图所示：
由(1)可知∠ACO=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠BCD，
∵∠ECB+∠BCD=180°，∠EAC+∠OAC=180°，
∴∠EAC=∠ECB，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴EAEC=ECEB，即EC2=EA⋅EB，
∵AE=AB=6，
∴EB=12，
∴EC=6 2，
∴ACCB=ECEB= 22，
设AC= 2x,CB=2x，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：2x2+4x2=36，
解得：x= 6(负根舍去)，
∴BC=2 6=BD．
【解析】(1)连接OC，由题意易得∠ACB=90°，∠OCB=∠OBC，然后可得∠ACO=∠BCD，则有∠OCD=90°，进而问题可求证；
(2)由(1)可知∠ACO=∠BCD，则有∠OAC=∠BCD，然后可得∠EAC=∠ECB，则可知△EAC∽△ECB，进而可得EC=6 2，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1,0)，B(3,0)，
∴a−b+2=09a+3b+2=0,
解得：a=−23b=43,
∴该二次函数的表达式为y=−23x2+43x+2；
(2)存在，理由如下：
如图1，当点P1在BC上方时，
若∠P1CB=∠ABC，
则CP1//AB，即CP1//x轴，
∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，
∵y=−23x2+43x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−432×(−23)=1，
∵C(0,2)，
∴P1(2,2)；
当点P2在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，
则OD=m，BD=3−m，
∵∠P2CB=∠ABC，
∴CD=BD=3−m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=(3−m)2，
解得：m=56，
∴D(56,0)，
设直线CD的表达式为y=kx+d，则56k+d=0d=2,
解得：k=−125d=2,
∴直线CD的表达式为y=−125x+2，
联立，得y=−125x+2y=−23x2+43x+2,
解得：x1=0y1=2(舍去)，x2=285y2=−28625,
∴P(285,−28625)，
综上所述，点P的坐标为(2,2)或(285,−28625)；
(3)由(2)知：抛物线y=−23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E(1,0)，
设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解得：e=−23t+2f=−23t+2,
∴直线AQ的表达式为y=(−23t+2)x−23t+2，
当x=1时，y=−43t+4，
∴M(1,−43t+4)，
同理可得直线BQ的表达式为y=(−23t−23)x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N(1,43t+43)，
∴EM=−43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=−43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
【解析】
【分析】
(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP1//x轴，可得P1(2,2)；当点P在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，则OD=m，BD=3−m，利用勾股定理即可求得m=56，得出D(56,0)，再运用待定系数法求得直线CD的表达式为y=−125x+2，通过联立方程组求解即可得出P2(285,−28625)；
(3)设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1,0)，B(3,0)，
解得：
∴该二次函数的表达式为y=−23x2+43x+2；
(2)存在，理由如下：
如图1，当点P1在BC上方时，
若∠P1CB=∠ABC，
则CP1//AB，即CP1//x轴，
∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，
∵y=−23x2+43x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−432×(−23)=1，
∵C(0,2)，
∴P1(2,2)；
当点P2在BC下方时，设CP2交x轴于点D(m,0)，
则OD=m，BD=3−m，
∵∠P2CB=∠ABC，
∴CD=BD=3−m，
在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，
∴22+m2=(3−m)2，
解得：m=56，
∴D(56,0)，
设直线CD的表达式为y=kx+d，则
解得：
∴直线CD的表达式为y=−125x+2，
联立，得
解得：舍去)，
∴P(285,−28625)，
综上所述，点P的坐标为(2,2)或(285,−28625)；
(3)由(2)知：抛物线y=−23x2+43x+2的对称轴为直线x=1，
∴E(1,0)，
设Q(t,−23t2+43t+2)，且−1
解得：e=−23t+2f=−23t+2，
∴直线AQ的表达式为y=(−23t+2)x−23t+2，
当x=1时，y=−43t+4，
∴M(1,−43t+4)，
同理可得直线BQ的表达式为y=(−23t−23)x+2t+2，
当x=1时，y=43t+43，
∴N(1,43t+43)，
∴EM=−43t+4，EN=43t+43，
∴EM+EN=−43t+4+43t+43=163，
故EM+EN的值为定值163．
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线的性质及应用，等腰三角形的判定，二次函数的性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，掌握相关知识并能综合运用是解题关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠B=∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠DCE，
∵DP⊥CE，点P为CE的中点，
∴CD=DE，∠DPE=90°，
∴∠DCE=∠DEP，
∴∠DPE=∠B，∠DEP=∠BEC，
∴△DEP∽△CEB；
(2)解：如图1，延长AP交DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠H=∠PAE，
∵点P为CE的中点，
∴PC=PE，
在△PCH和△PEA中，
∠H=∠PAE∠CPH=∠EPAPC=PE，
∴△PCH≌△PEA(AAS)，
∴CH=AE，PH=PA，
∵BEBC=34，设BE=3k(k>0)，则BC=AD=4k，∠B=90°，
∴EC= BE2+BC2+BC2= (3k)2+(4k)2=5k，
∴PE=PC=12EC=52k，
∵△DEP∽△CEB，
∴DEEC=DPBC=PEBE，即DE5k=DP4k=52k3k，
∴DE=256k，DP=103k，
由(1)知：CD=DE，
∴CD=AB=256k，
∴AE=CH=AB−BE=256k−3k=76k，
∴DH=CD+CH=256k+76k=163k，
∵AB//DH，
∴△AEF∽△HDF，
∴EFDF=AEDH=76k163k=732；
(3)解：∵DP是线段CE的垂直平分线，
∴直线DP是△DCE的对称轴，
作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′=DQ，连接GQ、GQ′、GF，
当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′⊥CD时，GF+GQ=GF+GQ′=FQ′最小，
由(2)知：PE=PC=52k，
∵CP=5，
∴52k=5，
解得：k=2，
∴DE=256k=253，AE=76k=73，AD=4k=8，
∵EFDF=732，
∴DF=3239DE=3239×253=800117，
∵FQ′⊥CD，
∴∠DQ′F=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠DQ′F=180°，
∴FQ′//AD，
∴△FDQ′∽△DEA，
∴FQ′AD=DFDE，即FQ′8=800117253，
∴FQ′=3239，
∴GF+GQ的最小值为3239．
【解析】(1)由矩形性质可得：AB//CD，∠B=∠BCD=90°，由平行线性质可得∠BEC=∠DCE，再由线段垂直平分线性质和等腰三角形性质可推出∠DCE=∠DEP，即可证明结论；
(2)如图1，延长AP交DC的延长线于点H，可证得△PCH≌△PEA(AAS)，得出：CH=AE，PH=PA，设BE=3k(k>0)，则BC=AD=4k，利用勾股定理可得EC=5k，再由△DEP∽△CEB，可得出DE=256k，DP=103k，再利用△AEF∽△HDF，即可求得答案；
(3)由于直线DP是△DCE的对称轴，作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′=DQ，连接GQ、GQ′、GF，当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′⊥CD时，GF+GQ=GF+GQ′=FQ′最小，由CP=5，可求得k=2，再由FQ′//AD，可得△FDQ′∽△DEA，利用相似三角形性质即可求得GQ′的值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称中的路径最短问题，直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，第(2)添加辅助线构造全等三角形是解题关键；第(3)中，找出GF+GQ的最小值是解题的关键．
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