江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期期末联合调研数学试题

2022-2023学年第二学期六校联合体期末联合调研

高一数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 10. 11. 12.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.    14.     15.     16. ，

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；

(2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数)．

解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为

所以样本中停车时长在区间上的频率为，估计该天停车时长在区间上的车辆数是50；                                         ...................................5分

（2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足

确定免费停车时长为不超过分钟                          ....................................5分

18.（12分）

已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

解法1(1)由题意

所以                                   ....................................2分

所以             ....................................4分

(2)由为锐角，可得                    ....................................1分

所以                                         ....................................5分

解法二：(1)由题意：，

所以

(2)由为锐角，可得

所以

注：若用或来求解应缩小角的范围

19．(12分)

已知ΔABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120º，点D在边BC上且满足CD＝2BD．

(1)用､表示，并求||；

(2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值．

解：(1),                                 ...................................3分

所以     ...................................3分

（2）易知

所以                                ...................................2分

又               ...................................2分

所以                                ...................................2分

20.（12分）

我校开展体能测试，甲､乙､丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲､乙､丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲､乙､丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀” 分别为事件A，B，C．

(1)求P(A)、P(B)、P(C)；

(2)求甲､乙､丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．

解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2．

记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C．

,  ...................................2分

,   ...................................2分

,   ...................................2分

（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，

.                                                 ..................................6分

答：(1)甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、；

(2)甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．

21．（12分）

的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

解：(1)由正弦定理可得：

所以

所以，                  .....................................2分

因为，所以

所以，                                     .....................................2分

因为，                                  .....................................1分

所以，即                                 .....................................1分

（2）由题设及(1)知的面积．           

由正弦定理得．       .....................................2分

由于为锐角三角形，故，．

由(1)知，

所以，                                      .....................................1分

故，                                             .....................................2分

从而．

因此面积的取值范围是．                  .....................................1分

解法二：(1)同上

(2)因为为锐角三角形且，则即

解得所以

22．（12分）

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，所有侧棱与底面边长均为2，∠AA1C1＝120°，D是边AC中点.

(1)求证：AB1∥平面BDC1；

(2)求异面直线BB1与A1C1所成的角；

(3) F是边CC1一点，且CF＝λCC1，若AB1⊥A1F，求λ的值．

解：(1)如图，连接B1C与BC1交于点O，连DO，

在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，

四边形BCC1B1是平行四边形，

则O是B1C的中点，又D是AC中点，

则AB1∥DO，       .....................................2分

又AB1平面BDC1，DO平面BDC1，

则AB1∥平面BDC1    .....................................2分

(2) 取A1C1的中点E，连AE，斜三棱柱ABC－A1B1C1底面△A1B1C1边长均为2，

则B1E⊥A1C1，                                     

平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1E平面A1B1C1

则B1E⊥平面ACC1A1，

∠B1AE即为AB1与平面ACC1A1所成角，                 .....................................2分

RT△B1AE中，B1E＝， tan∠B1AE＝ ，则AE＝，又AA1＝2， A1E＝2

则在△A1AE中，∠AA1C1＝120°，则∠A1AC1＝60°          .....................................1分

AA1∥BB1，A1C1∥AC，异面直线BB1与A1C1所成的角为∠A1AC1，即为60°    …1分

(3) 由（2）知B1E⊥平面ACC1A1，又，则

又，，，所以，

又，则                     .....................................2分

在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建系，

,又,所以

又，则，所以              .....................................2分

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