2021-2022学年山东省德州五中八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省德州五中八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若成立，则满足得条件(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知中，，，边上的高，则边的长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4. 如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是(    )
   ；；当时，四边形是菱形；当时，四边形是矩形．

A.  B.  C.  D.

7. 菱形中，，，则该菱形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程千米与行驶的时间小时的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 正比例函数，且函数值随自变量的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法，其中正确的有个(    )
    四边形是平行四边形：
    如果，则四边形是矩形：
    如果平分，则四边形是菱形：
    如果且，则四边形是菱形，

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若 ______ ．
14. 若一个直角三角形两边的长分别为和，则第三边的长为______．
15. “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是______是______命题填“真”或“假”字
16. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______．

17. 如图，在矩形中，、分别是、中点，连接、、、分别交于点、，四边形是______．

18. 已知，两地相距千米，小黄从地到地，平均速度为千米时．若用时表示行走的时间，千米表示余下的路程，则关于的函数解析式是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算
    ；
    ．
20. 本小题分
    为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米．
    求出空地的面积．
    若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？

21. 本小题分
    如图，已知在▱中，是对角线与的交点，是的中位线，连接并延长，与的延长线相交于点，且，连接证明四边形为矩形．

22. 本小题分
    如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，
    求证：．

23. 本小题分
    如图，把长方形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置．
    若，求，的度数；
    若，，求四边形的面积．

24. 本小题分
    如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为．
    求正比例函数的解析式．
    在轴上能否找到一点，使的面积为？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 本小题分
    如图，矩形的对角线交于点，点是矩形外的一点，其中，．
    求证：四边形是菱形；
    求证：≌；
    若，连接交于于点，连接，求证：平分．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，解得．
故选：．
利用二次根式的性质得到，利用绝对值的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，在中，
，，
；
在中，
，，
，
当在三角形的内部时，；
当在三角形的外部时，．
的长是或．
故选D．
高线可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
 

4.【答案】 

【解析】解：为等腰三角形，，
，
在中，，
以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，
，
点对应的数为．
故选：．
先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了等腰三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：原处还有尺高的竹子．
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为平行四边形的对边相等且平行，故正确；
当平行四边形是矩形时，，故错误；
当时，四边形是矩形，故错误；
当平行四边形有一内角是度时，该平行四边形是矩形，故正确．
故选：．
依据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
本题主要考查的是矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形对角线相互垂直，
，
菱形面积是．
故选：．
由菱形面积公式即可求得面积．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，熟练掌握菱形的面积是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：．
先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．
本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
利用三角形中位线定理知；然后在直角三角形中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求出的长度．
【解答】
解：、分别是、的中点，
是的中位线，
；
又是线段的中点，，
，
，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：．
首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间和运动的路程之间的关系采用排除法求解即可．
此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数值随自变量的增大而减小，
，
．
故选：．
利用正比例函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，选项正确；
若，
平行四边形为矩形，选项正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项正确；
若，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，选项正确，
则其中正确的个数有个．
故选：．
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，正确，进而得到正确说法的个数．
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
则，
故答案为：．
利用二次根式有意义的条件可得，然后再利用绝对值进行计算即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

14.【答案】或 

【解析】解：分情况讨论：
当和为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为：；
当为斜边，为直角边时，由勾股定理地第三边长为：；
故答案为：或．
由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

15.【答案】“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”  真 

【解析】解：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”它是真命题．
故答案为“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”；真．
“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的题设为点在线段垂直平分线上，结论为这个点到这条线段两个端点的距离相等，然后交换题设与结论即可得到逆命题，它是正确的命题．
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题．正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；交换命题的题设与结论的命题互为逆命题．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于，交于．

则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，即，
，
，
故答案为
想办法证明解答即可．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
 

17.【答案】菱形 

【解析】解：四边形是菱形；理由如下：
四边形为矩形，
，，
又，分别为，中点，
，，，，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，即，
同理可证，
四边形为平行四边形，
四边形为平行四边形，为直角，
为矩形，
，互相平分于点，
，
四边形为菱形；
故答案为：菱形．
求出四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即，同理可证，得出四边形为平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
当时，，
自变量的取值范围是，
故答案为：．
根据，两地相距千米，小黄从地到地，平均速度为千米时，即可表示出与的函数解析式．
本题考查了函数解析式，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；
先分母有理化，再合并同类二次根式，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和乘法公式是解决问题的关键．也考查了分母有理化．
 

20.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，

需费用元，
答：总共需投入元． 

【解析】连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形的面积等于面积减的面积解答即可；
根据题意列式计算即可．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
是的中位线，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形． 

【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，证得≌是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
和都是等腰直角三角形
，，，
，
在和中，
，
≌
，，
，
，
即，
在中，，
，
． 

【解析】连接，根据都一样直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明≌，得到，，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，掌握全等三角形的判断的力量和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
；
长方形纸片沿折叠，
，，
设，则，
，
，
解得，
，，
由知，
，
． 

【解析】根据平行线的性质求出，根据折叠的性质得到，根据平角的概念计算；
由折叠的性质得出，，设，则，由勾股定理得出，解得，由梯形的面积公式可得出答案．
本题考查的是矩形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
 

24.【答案】解：点的横坐标为，且的面积为，
，
解得，
，
把代入得，解得，
正比例函数解析式为；
存在．
设，
的面积为，
，
或，
点坐标为或． 

【解析】先利用三角形面积公式求出得到点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
设，利用三角形面积公式得到，然后解关于的绝对值方程即可．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．
 

25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
平分． 

【解析】先证四边形是平行四边形，由矩形的性质可得，可得结论；
由“”可证≌；
先证是等边三角形，由等边三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．