2022年北京市海淀区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市海淀区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝（　　）
A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣2
3．（4分）双曲线﹣y2＝1的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）在（﹣x）4的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
5．（4分）下列命题中正确的是（　　）
A．平行于同个平面的两条直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一个平面的两个平面平行
D．垂直于同一条直线的两个平面平行
6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
7．（4分）已知角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，且cos（α+β）＝1，则α的取值可以为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（　　）

A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）
9．（4分）在△ABC中，A＝，则“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁）
[0，20）
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，∞）
总计
确诊组人数
0
3
7
4
0
14
排除组人数
7
41
15
19
2
84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③X，Y的取值范围都是（0，，）；
④E（X）＜E（Y）．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝　 　．
12．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝　 　，a1＝　 　．
13．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的一个取值可以为 　 　．
14．（5分）已知，是单位向量，且•＝0，设向量＝λ+μ，当λ＝μ＝1时，＜，＞＝　 　；当λ+μ＝2时，|﹣|的最小值为 　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）有无数个零点；
③f（x）的最小值为﹣；
④f（x）的最大值为1．
其中，所有正确结论的序号为 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（14分）设函数f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同时满足下列三个条件中的两个：
条件①：f（0）＝0；
条件②：f（x）的最大值为；
条件③：x＝是f（x）图象的一条对称轴．
（1）请写出f（x）满足的两个条件，并说明理由；
（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，求m的取值范围．
17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．
（1）求证：A1D⊥AB；
（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．

18．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
[0，51）
0.1%
9.2%
2
[51，66）
11.1%
47.4%
3
[66，76）
34.6%
31.6%
4
[76，90）
48.6%
11.8%
5
[90，100]
5.6%
0.0%
注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．
（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？
（2）据统计，睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）；
（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76，90）内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．
19．（14分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y＝（x﹣2）上．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点B的直线l2：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E．若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．
21．（14分）设m为正整数，若无穷数列{an}满足|aik+i|＝|aik+i|（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…），则称{an}为Pm数列．
（1）数列{n}是否为P1数列？说明理由；
（2）已知an＝其中s，t为常数．若数列{an}为P2数列，求s，t；
（3）已知P3数列{an}满足a1＜0，a8＝2，a6k＜a6k+6（k＝1，2，…），求an．

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}
【分析】进行并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，
∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝（　　）
A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣2
【分析】利用复数几何意义和运算法则直接求解．
【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），
∴z（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）双曲线﹣y2＝1的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用椭圆方程，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣y2＝1可得a＝，b＝1，则c＝＝2，
所以e＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
4．（4分）在（﹣x）4的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】先由二项式定理求通项公式，然后求展开式的项系数即可．
【解答】解：由（﹣x）4的展开式的通项公式为＝（﹣1）r，
令，
解得r＝0，
即x2的系数为（﹣1）0＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的项系数，属基础题．
5．（4分）下列命题中正确的是（　　）
A．平行于同个平面的两条直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一个平面的两个平面平行
D．垂直于同一条直线的两个平面平行
【分析】对于A，相交、平行或异面；对于B，相交或平行；对于C，相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行
【解答】解：对于A，平行于同个平面的两直线相交、平行或异面，故A错误；
对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故B错误；
对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，故C错误；
对于D，由面面平行的判定定理得：
垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心（1，1），
直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，
可得a+b＝1，
则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，
所以ab的最大值为：．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，是基础题．
7．（4分）已知角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，且cos（α+β）＝1，则α的取值可以为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：由于角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，
故；
由于cos（α+β）＝1，
所以，
整理得（k∈Z），
故（k∈Z）；
当k＝1时，．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（　　）

A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）
【分析】设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，求得c＝1，b＝2a+，再由g（2）＝1，结合对数函数的图象可得所求解集．
【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），
由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，
则c＝1，4a﹣2b+1＝0，
所以f（x）＝ax2+（2a+）x+1，
将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数
g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+）（x﹣2）+1的图象．
由g（2）＝1，
又y＝log2x在（0，2）上递增，且log21＝0，log22＝1，
所以由图像可得不等式g（x）＞log2x的解集为（0，2）．
故选：C．

【点评】本题考查函数的图象和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9．（4分）在△ABC中，A＝，则“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先解三角不等式，再结合充分必要条件判断即可．
【解答】解：在△ABC中，由sinB＜，则0或，
又A＝，
则0，
即C＝，
即△ABC是钝角三角形，
由△ABC是钝角三角形，
当B＝时，sinB＝，
即“△ABC是钝角三角形”不能推出“sinB＜”，
即“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了三角不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题．
10．（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁）
[0，20）
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，∞）
总计
确诊组人数
0
3
7
4
0
14
排除组人数
7
41
15
19
2
84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③X，Y的取值范围都是（0，，）；
④E（X）＜E（Y）．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案．
【解答】解：对于①：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；
对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为，故②错误；
对于③：第一种[0，80）有96人，[80，+∞）有2人，
第二种[0，80）有82人，[80，+∞）有2人，
故设抽取80岁以上的人数为M，则M＝0，1，2，
当M＝0时，X＝Y＝0，
当M＝1时，，
当M＝2时，，
故③正确；
对于④：，
，
，
E（X）＜E（Y），
E（X）＜E（Y），
故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝　2　．
【分析】由已知结合抛物线的直线方程列式求得p值．
【解答】解：由抛物线y2＝2px，得直线方程为x＝﹣，
由题意，，得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．
12．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝　2　，a1＝　1　．
【分析】根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可．
【解答】解：设，由题意知，即，
解得q＝2，a1＝1；易知q≠1．
故答案为：2；1．
【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．
13．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的一个取值可以为 　1（答案不唯一，符合a＞0即可）　．
【分析】由题意可得g（x）＝|2x﹣a|的值域为[0，+∞），又y＝2x的值域为（0，+∞），则a＞0，因此答案可以说大于0的任何数．
【解答】解：令g（x）＝|2x﹣a|，
∵函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），
∴g（x）＝|2x﹣a|的值域为[0，+∞），
又∵y＝2x的值域为（0，+∞），
∴a＞0
∴a的一个值可以为1．
故答案为：1（答案不唯一，符合a＞0即可）．
【点评】本题考查函数的单调性与值域，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
14．（5分）已知，是单位向量，且•＝0，设向量＝λ+μ，当λ＝μ＝1时，＜，＞＝　　；当λ+μ＝2时，|﹣|的最小值为 　　．
【分析】求出||，根据夹角公式可得＜＞，将||表示为关于λ的二次函数，求出最小值即可．
【解答】解：当λ＝μ＝1时，，||2＝＝2，∴||＝2，
cos＜＞＝＝＝＝，
∵＜＞∈[0，π]，∴＜＞＝；
当λ+μ＝2时，＝（λ﹣1）+＝（λ﹣1）+（2﹣λ），
则||＝（λ﹣1）2+（2﹣λ）2＝2（）2+，
当时，|﹣|的最小值为．
故答案为：；．
【点评】本题考查向量夹角、向量模的最小值的求法，考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、二次函数的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）有无数个零点；
③f（x）的最小值为﹣；
④f（x）的最大值为1．
其中，所有正确结论的序号为 　①②④　．
【分析】根据偶函数的定义、零点定义，结合导数的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（﹣x）＝＝＝f（x），∴该函数是偶函数，故①正确；
令函数f（x）＝＝0，则cosπx＝0，∴（k∈Z），
∴（k∈Z），故②正确；
∵f（x）＝，∴f′（x）＝，
∵f（1）＝﹣，∴f′（1）＝≠0，
∴函数的最小值不可能为﹣，故③错误；
|cosπx|≤1，当πx＝kπ（k∈Z）时取等号，∴0＜≤1，
当且仅当x＝0时取等号，∴≤1，
当且仅当x＝0时取等号，∴f（x）＝，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题真假的判断，考生查三角函数的奇偶性、导数性质、函数极值与最值的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（14分）设函数f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同时满足下列三个条件中的两个：
条件①：f（0）＝0；
条件②：f（x）的最大值为；
条件③：x＝是f（x）图象的一条对称轴．
（1）请写出f（x）满足的两个条件，并说明理由；
（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，求m的取值范围．
【分析】（1）首先分析①②可得A＝0，1，﹣1，逐个验证条件③即可得结果；
（2）由（1）得函数的解析式，通过x的范围求出的范围，结合正弦函数的性质列出关于m的不等式即可得解．
【解答】解：（1）函数，
其中，
对于条件①：若f（0）＝0，则A＝0，
对于条件②：f（x）的最大值为，则，得A＝±1，①②不能同时成立，
当A＝0时，，
当A＝1时，，即满足条件③，
当A＝﹣1时，，即不满足条件③，
综上可得，存在A＝1满足条件②③；
（2）由（1）得，
当0＜x＜m时，，
由于f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，
则，解得，
即m的取值范围是．
【点评】本题考查了函数的零点和函数的最值，属于难题．
17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．
（1）求证：A1D⊥AB；
（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．

【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB⊥平面AA1D1D，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取AD的中点O，连接A1O，证明出A1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，利用空间向量法可得出关于a的方程，求出a的值，即可求得棱AA1的长．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，
因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⋂平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面AA1D1D，
∵A1D⊂平面AA1D1D，所以，AB⊥A1D．
（2）解：取AD的中点O，连接A1O，
∵AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面AA1D1D，
所以，A1O⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，
则A（0，﹣1，0）、B（2，﹣1，0）、A1（0，0，a）、C1（2，2，a）、D（0，1，0），
，，，
设平面A1C1D的法向量为，则，
取x＝a，则，
由题意可得，
∵a＞0，解得，则．

【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．
18．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
[0，51）
0.1%
9.2%
2
[51，66）
11.1%
47.4%
3
[66，76）
34.6%
31.6%
4
[76，90）
48.6%
11.8%
5
[90，100]
5.6%
0.0%
注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．
（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？
（2）据统计，睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）；
（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76，90）内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据百分位数的定义判断可得出结论；
（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得 E（X） 的值；
（3）取第1组的均值为0，第2组的均值为51，第 3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，结合平均数公式判断 可得出结论．
【解答】（1）解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．
（2）解：由题意可知，，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




；
（3）解：这种说法不正确，理由如下：
当第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，
则睡眠指数的均值为0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056＜0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06＝72.68＜76．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．通过求导可得f′（x），可得切线斜率f′（0），利用点斜式可得切线方程．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．
（3）结合（2）可得：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．对0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，．x2＞0．需要f（x2）＝f（）≤0，解得a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．
f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1＝0．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．
①若a＝0，则f′（x）＝﹣xex，
x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴0是函数f（x）的极大值点．
②a≠0时，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，
下面对a分类讨论：a＝时，f′（x）＝x2ex≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，舍去．
a＞时，x2＜0，
列出表格：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0为函数f（x）的极小值点，舍去．
a＜0时，x2＜0，
列出表格：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
0＜a＜时，x2＞0，列出表格：
列出表格：
x
（﹣∞，0）
0
（0，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
∴a的取值范围是（﹣∞，）．
（3）结合（2）：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．
例如a＞或a＜0，0是函数f（x）的极大值点，且f（0）＝1．x→﹣∞时，f（x）→0，无最小值，舍去．
0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，x2＞0，满足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，
需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．
因此函数f（x）存在最小值，a的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y＝（x﹣2）上．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）不经过点B的直线l2：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E．若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．
【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则可用此两点坐标表示E，根据三点共线可得x1y2+x2y1＝2（y1+y2）+x1x2﹣2（x1+x2）+4，利用点在直线可得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+2）（x1+x2）﹣4m﹣4＝0，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点．
【解答】（1）解：因为下顶点A和右顶点B都在直线上，
故A（0，﹣1），B（2，0），故椭圆方程为：．
其离心率为．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1≠2，x2≠2．
则，故E（x1，x1﹣y1﹣2），
因为E，B，Q三点共线，故，
整理得到：x1y2+x2y1＝2（y1+y2）+x1x2﹣2（x1+x2）+4，
即（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+2）（x1+x2）﹣4m﹣4＝0．
由可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
故Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0且，
故，
整理得到：（m+2k）（m+2k+1）＝0，
若m＝﹣2k，则l2：y＝kx﹣2k，故l2过B，与题设矛盾；
若m＝﹣2k﹣1，则l2：y＝kx﹣2k﹣1，故l2过定点（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
21．（14分）设m为正整数，若无穷数列{an}满足|aik+i|＝|aik+i|（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…），则称{an}为Pm数列．
（1）数列{n}是否为P1数列？说明理由；
（2）已知an＝其中s，t为常数．若数列{an}为P2数列，求s，t；
（3）已知P3数列{an}满足a1＜0，a8＝2，a6k＜a6k+6（k＝1，2，…），求an．
【分析】（1）根据P1数列的性质，即可判断，
（2）根据P2数列的性质，求出a1，a2，a3即可；
（3）根据P3数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可．
【解答】解：（1）∵an＝a1×（n﹣1）+1＝（n﹣1）+1＝a1×（n﹣1）+1（n≥2），∴|a1×（n﹣1）+1|＝|a|×（n﹣1）+1|，
（2）依题意，a2＝t，a1＝a3＝s，
因为an是P2数列，|a2|＝|a1×1+1|＝|a1+1|＝|t+1|＝|t|，∴t＝﹣1，
|a3|＝|a2×1+1＝|a2+1|＝|t+1|＝|s|，∴s＝0；
（3）∵an是P3数列，∴|a8|＝|a1×7+1|＝|a7+1|，|a8|＝|a2×3+2|＝|a6+2|，
∴|a7+1|＝|a6+2|＝2…（1），
|a9|＝|a8×1+1|＝|a8+1|＝3，|a9|＝|a3×2+3|＝|a6+3|＝3，
由（1）（2）得a6＝0，a7＝1，
∴猜想an是首项为﹣5，公差为1的等差数列，即an＝n﹣6，
检验：|a1×k+1|＝|ak+1|＝|k﹣6+1|＝|ak+1|，∴是P数列；
|a2×k+2|＝|a2k+2|＝|2k+2﹣6|＝|2k﹣6+2|＝|a2k+2|，∴是P2数列；
|a3k+3|＝|3k+3﹣6|＝|3k﹣6+3|＝|a3k+3|，∴是P3数列，
并且，
∴a6k＜a6k+6，a1＝﹣5＜0符合题意，
故an＝n﹣6．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
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