2023年北京市海淀区重点学校高考数学零模试卷-普通用卷

2023年北京市海淀区重点学校高考数学零模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，若，则实数(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.  复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  三条线段的长分别为，，，则用这三条线段(    )

A. 能组成锐角三角形 B. 能组成直角三角形 C. 能组成钝角三角形              D. 不能组成三角形

6.  已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，为上一点，则三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上(    )

A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值

8.  已知数列是等比数列，且满足，则(    )

A. 是递增数列 B. 是递减数列
C. 是的公比为或 D. 是的公比为

9.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，当最小时，(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  ______ ．

12.  已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于，请写出一个满足条件的的标准方程______ ．

13.  一个袋子中装有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中依次摸出个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______．

14.  紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的如图给出了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的容量约为______ ．




 

15.  已知点是边长为的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．
的取值范围是______ ；
当取得最大值时， ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知函数，且．
求的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时的值．
若，，求的值．

17.  本小题分
某超市制定的某种有机蔬菜销售策略如下：每天以元千克购进该种蔬菜，然后以元千克出售若每天下午点以前购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜进行降价处理，以元千克出售，并且降价后能够把剩余蔬菜全部销售完，且当天不再进货该超市整理了过去两个月按天计算每天下午点前这种有机蔬菜的日销售量单位：千克，得到如下的统计数据注：视频率为概率，，

注：每天超市销售的蔬菜量是相互独立的
在接下来的天中，设为下午点前的销售数量不少于千克的天数，求的分布列和数学期望；
若该超市拟购进千克有机蔬菜，表示蔬菜销售量．
求分布列和数学期望；
写出此时利润的数学期望直接写出结果．

18.  本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
条件：；
条件：；
条件：平面平面C.

19.  本小题分
已知椭圆：过点，长轴长为．
求椭圆的方程；
设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与轴不重合，直线、分别与轴交于、两点判断是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．

20.  本小题分
设函数，其中函数是函数的导函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；
若，讨论函数的零点个数直接写出结论．

21.  本小题分
若无穷数列的各项均为整数且对于，，，都存在，使得，则称数列满足性质．
判断下列数列是否满足性质，并说明理由．
，，，，；
，，，，．
若周期数列满足性质，请写出数列的通项公式不需要证明；
若数列满足性质，且，求证：集合为无限集．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设集合，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或．
故选：．
根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案．
本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

【解答】

解：，
复数的虚部为．
故选D．

3.【答案】 

【解析】解：根据二项展开式：，当时，的系数为．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式和组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A，是非奇非偶函数，是区间上的增函数，错误；
选项B，是偶函数，是区间上的减函数，错误；
选项C，是偶函数，是区间上的增函数，正确；
选项D，是奇函数，是区间上的增函数，错误；
故选：．
根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据三角形任两边之和大于第三边可判断能构成三角形，
不妨设的三边分别为，，，
因为，所以角为最大的角．
因为，，
所以为锐角，故三角形为锐角三角形．
故选：．
首先根据三角形任两边之和大于第三边可判断能构成三角形，再根据大边对大角，计算最长边对应的余弦值即可判断三角形的形状，从而得到答案．
本题主要考查了余弦定理在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，为正四棱柱，
为到平面的距离，
根据等体积算法可得：
．
故选：．
由为到平面的距离，所以根据等体积法可得，代入数值即可得解．
本题考查三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，函数在区间上是增函数，且，，
则当时，，
而函数在上先减后增，排除选项A和，
当时，函数取到最小值，排除选项C．
故选：．
由换元法和余弦函数的图象，得出的范围，根据范围结合正弦函数的图象，逐一检验选项，得出答案．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
令，得，
又数列是等比数列，
则，解得，
又该等比数列的首项不确定，
该等比数列的单调性无法确定，
，，选项错误，
故选：．
本题可由关系式，令，结合等比数列的通项公式，即可得出答案．
本题考查等比数列的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连结，

设，则，，
因为，所以，
从而，
故选：．
利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立，的等量关系式求解．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由圆的知识可知，，，，四点共圆，且，
圆：，圆心，半径，
所以，
所以当最小时，即当最小时，
又，当时，此时取得最小值，
此时，
则．
故选：．
首先根据题意得到当时，此时取得最小值，然后由点到直线的距离公式，结合勾股定理，即可得到结果．
本题考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值求解作答．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设抛物线的标准方程为，
由题意知，焦点到准线的距离，
所以，可取，
则抛物线的标准方程为．
故答案为：答案不唯一．
设抛物线的标准方程为，由题意得，即可得出抛物线方程．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个袋子中装有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中依次摸出个球，
第一次摸出红球的概率，
第一次摸出红球且第二次也摸出白球的概率，
故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率．
故答案为：．
直接利用条件概率的关系式求出结果．
本题考查的知识要点：条件概率，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，圆台上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以．
故答案为：．
根据圆台的体积公式求解即可．
本题考查了圆台的体积的计算，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：建立以为原点的坐标系，如图所示：

由可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设，则有，
所以，
又因为，
所以，
由的轨迹方程可知，
即，所以，
所以的范围为：；
将代入，得，
所以点在圆上，
设
则，
所以当时，取最大值，此时，
所以，
所以，
所以．
故答案为：；．
建立以为原点的坐标系，可得的轨迹方程，由的轨迹方程可知，即，即可求解．
将代入的轨迹方程得，设，利用三角函数求得当时，取最大值，代入即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】解，解得，
，
，
，
，
当，即时，取得最大值为，
当时，取得最大值为，
即在上的最大值为，此时的值为．
，
，
又，
，
，
．
故的值为． 

【解析】由求得的值，再由的范围求得的范围进而求得的最大值即可．
由得，再由范围求出的范围来判断的符号，进而求得的值，再运用配凑角，求得值．
本题主要考查了二倍角公式，和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意，天下午点前的销售量不少于千克的概率，
随机变量的可能值为，，，，，，
所以的分布列为：

的数学期望；
根据题意可得：随机变量的可能值为，，，
根据题意可得；；，
所以的分布列为：

的数学期望；
． 

【解析】求出天下午点前的销售量不少于千克的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答．
根据列分布列的步骤求出购进千克有机蔬菜，表示蔬菜销售量，分布列和数学期望；
利用均值的线性运算直接求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，化归转化思想，属中档题．
 

18.【答案】解：若选择，
Ⅰ证明：，，，
，
又，，，平面，
平面；
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
四边形是正方形，
，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为．
若选择，
Ⅰ证明：，，，
，
又平面平面，平面平面，
平面；
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
四边形是正方形，
，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设直线与平面所成角为，则，
直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ若选择，先由勾股定理可得，再结合，，即可得证；若选择，先由勾股定理可得，再利用面面垂直的性质定理即可得证；
Ⅱ建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而求得平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．
 

19.【答案】解：由题意知，，则，
所以，
将代入得：，
所以椭圆方程为；
是定值，为，
设直线的方程为，
联立方程，
设，，则，，
因为，
所以设直线的方程为，
令得，
同理可得：，，
故是定值，为． 

【解析】根据已知条件求得、的值即可；
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过直线和直线的方程求出、两点的纵坐标，进而求得．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，
则，所以，
又，所以，即在点处的切线方程为．
证明：因为的定义域为，，，
则，
令，
则，
又因为，，
所以，
所以在上单调递减，
又因为，，，
所以，，即，
所以，，
所以在上有唯一零点，且，
即有且仅有一个零点，且．
当时，的定义域为，则，
所以由零点存在性定理知，在上单调递增，
又因为，，
所以在上有唯一零点．
当时，由知，在上单调递减，且有且仅有一个零点，，
所以，即：，
所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，，
令，
则，
所以在上单调递减，
又因为，
所以，即：，
所以由零点存在性定理知，在上有个零点．
综述：当时，有个零点；
当时，有个零点． 

【解析】运用导数几何意义求切线的斜率，进而求得切线方程．
令，令，研究的单调性及运用零点存在性定理即可证明．
分类讨论与时，运用导数的符号来研究原函数的单调性及图象即可求得结果．
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的单调性及零点，化归转化思想，分类讨论思想，属难题．
 

21.【答案】解：对，取，对，，则 ，，
可得，
显然不存在，，使得，
故数列 不满足性质；
对，对于，，，则，，
故，
，，，，则，
存在，，
使得，
故数列满足性质；
设周期数列的周期为，，则对，均有，
设周期数列的最大项为，，，
最小项为，，，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，，则，，
使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；
则对，均有；
反证：假设时，取，，则，，
使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，
即对，均有，
综上所述：对，均有，
反证：假设为数列中的项，由可得：，为数列中的项，
，即为数列中的项，这与对均有相矛盾，
即对均有，同理可证：，
，则，
当时，即数列为常数列时，设，
故对，，，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
当，为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
当，为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
当，为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或．
证明：若数列满足性质，且，则有：
取，，，均存在，，使得 ，
取，，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
故数列 中存在 ，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，，，，
取，，均存在，，使得 ，
取，，均存在，，使得，
取，，均存在，，使得，
即这与假设相矛盾，
故集合为无限集． 

【解析】根据题意分析判断；
根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；
先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断．
本题以数列为载体，着重考查逻辑思维、推理论证能力，属难题．