广东省广州市天河区2023届高三数学二模试卷【含答案】

 高三数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知向量，，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若的展开式的各项系数和为8，则（　　）

A．1 B． C．2 D．

4．已知随机变量的分布列如下：

若，则（　　）

A． B． C． D．

5．已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（　　）

A． B． C． D．

6．若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（　　）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

8．已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（　　）

A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限

C． D．

10．下列等式能够成立的为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．已知圆：，则（　　）

A．圆关于直线对称

B．圆被直线截得的弦长为

C．圆关于直线对称的圆为

D．若点在圆上，则的最小值为5

12．如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（　　）

A．直线可能与平面相交

B．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值

C．当时，与平面所成角最大

D．当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为

三、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为　     　

14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 　     　种．（用数字作答）

15．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则　     　．

16．在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当　     　时，则有最小值为　     　．

四、解答题

17．设数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）设，记的前项和为，证明：.

18．在中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若角的平分线交于且，求的最小值.

19．在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，.

（1）证明：平面EAC.

（2）若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.

20．某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．

参考数据：，，，，，，，，，，．

（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；

（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）

（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）

21．已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.

（1）当，且为线段的中点时，证明：；

（2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

22．已知定义在上的函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

1．B

2．A

3．C

4．B

5．C

6．A

7．A

8．C

9．A,D

10．B,C

11．B,C,D

12．B,C,D

13．

14．144

15．

16．；

17．（1）解：①，

当时，②，

①-②得，即，

又当时，，解得，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

；

（2）证明：由（1）得，

，

因为，

18．（1）解：，即，即.

由正弦定理得，

，，故.

，，故，又，故，故；

（2）解：，设，，

根据向量的平行四边形法则：，

即，

，又，

故，

当且仅当时等号成立，故的最小值为.

19．（1）证明：连接交于，连接，

因为四边形是菱形，所以是的中点，

又是的中点，所以，

因为平面平面，

所以平面.

（2）解：取的中点，连接，则，

因为平面平面且交线为，平面，

所以平面.

设，则，解得.

因为底面是菱形，，所以，且.

以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的法向量为，

则，

故可设，

则，

所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为.

20．（1）解：由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.

，，，

∴的分布列为：

（2）解：由散点图可知，散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，

∵

∴

∴回归方程为：

（3）解：由题意得，，

在中

当时，解得：，

当即时，函数单调递减，

当即时，函数单调递增，

∴函数在处取最大值，

∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.

21．（1）证明：如图示：

当时，恰为抛物线的焦点.

由抛物线的定义可得：.

取的中点，连接，则为梯形的中位线，所以.

因为为的中点，所以，所以.

在中，由可得：.

因为为梯形的中位线，所以，所以，

所以.

同理可证：.

在梯形中，，

所以，所以，

所以，即.

（2）解：假设存在实数，使得.

由直线与抛物线交于，两点，可设.

设，则，消去可得：，所以，.

则

.

而.

所以，

解得：.

22．（1）解：函数，，求导得：，

当时，，函数在上单调递增，

当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，

所以当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是，递减区间是.

（2）解：因为，且当时，不等式恒成立，

当时，，恒成立，因此，

当时，，

令，原不等式等价于恒成立，

而，即函数在上单调递增，因此，

即，令，，

当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

，因此，

综上得，

所以实数的取值范围是.