2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷，共23页。

2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则图中阴影部分的集合为（　　）

A．{﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}
2．（4分）在复平面内，复数z1，z2对应的点的关于实轴对称，若z1＝2+i，则z1•z2＝（　　）
A．2﹣i B．5 C． D．3
3．（4分）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．20 B．﹣20 C．﹣40 D．40
4．（4分）曲线与曲线的（　　）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
5．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
6．（4分）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
7．（4分）“a＝0”是直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4相交的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝8a2，则下列式子中的数值不能确定的是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）已知函数f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝﹣x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，2） D．（1，+∞）
10．（4分）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（　　）（取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）函数的定义域为　 　
12．（5分）若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），则C的标准方程是 　 　．
13．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝1，cosA＝，则c＝　 　．
14．（5分）若函数f（x）＝sinx﹣cos（x+φ）的一个零点为，则常数φ的一个取值为　 　．
15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD上一个动点，设＝x，•＝y，对于函数y＝f（x）给出下列四个结论：
①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；
②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；
③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4；
④∃a∈（0，+∞），函数f（x）的最小值为负数．
其中所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程．
16．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2．
（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅲ）求二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值．

17．（13分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f（x）在区间的取值范围．
条件①：；
条件②：f（x）＝h（x）•g（x）；
条件③：f（x）＝h（x）﹣g（x）．
18．（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如表：
分组区间（单位：克）
（490，495]
（495，500]
（500，505]
（505，510]
（510，515]
产品件数
3
4
7
5
1
包装质量在（495，510]克的产品为一等品，其余为二等品
（Ⅰ）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（Ⅱ）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（Ⅲ）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望E（X）与期望E（Y）的大小．（结论不要求证明）
19．（14分）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线y＝ex平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内单调递减，求a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆过点，且a＝2c，若直线l：y＝kx+1与椭圆C交于M，N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线PO，NO交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值．
21．（15分）定义满足以下两个性质的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝3，4，⋅⋅⋅）阶“期待数列”：
①a1+a2+a3+…+an＝0；
②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝1．
（Ⅰ）若等比数列{an}为4阶“期待数列”，求{an}的公比；
（Ⅱ）若等差数列{an}是2k+1阶“期待数列”（n＝1，2，3，…，2k+1，k是正整数），求{an}的通项公式；
（Ⅲ）记2k阶“期待数列”{an}的前n项和为Sn（n＝1，2，3，…，2k，k是不小于2的整数），求证：|Sk|≤．

2021年北京市怀柔区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则图中阴影部分的集合为（　　）

A．{﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}
【分析】图中阴影部分表示的集合为A∩B，即可求解结论．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，
∴图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（4分）在复平面内，复数z1，z2对应的点的关于实轴对称，若z1＝2+i，则z1•z2＝（　　）
A．2﹣i B．5 C． D．3
【分析】由已知求得z2，代入z1•z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z1＝2+i，且复数z1，z2对应的点的关于实轴对称，
∴z2＝2﹣i，则z1•z2＝（2+i）（2﹣i）＝22﹣i2＝4+1＝5．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（4分）在（2x﹣1）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．20 B．﹣20 C．﹣40 D．40
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x2的项的系数．
【解答】解：∵（2x﹣1）5的展开式的通项公式为Tr+1＝•（2x）5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r＝2，求得r＝3，
可得含x2的项的系数﹣•22＝﹣40，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
4．（4分）曲线与曲线的（　　）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【分析】分别求得两双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦距，离心率，即可得到结论．
【解答】解：双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为4，离心率为；
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为4，离心率为．
所以它们的焦距相等．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
5．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+），
∴将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin（2x+）的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．（4分）某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的体积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱；
如图所示：

故：V＝．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．（4分）“a＝0”是直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4相交的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，分析直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0经过定点（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2＝4的内部，即可得对于任意的实数a，直线与圆相交，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，
直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0，即a（x+y+2）+x﹣y＝0，
则有，解可得，直线恒过点（﹣1，﹣1），
又由点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2＝4的内部，
故对于任意的实数a，直线与圆相交，
即当a＝0时，直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4相交，反之不一定成立，
故“a＝0”是直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4相交的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及充分必要条件的定义和判断，属于基础题．
8．（4分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝8a2，则下列式子中的数值不能确定的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得q3＝＝8，求出q的值，据此计算分析选项中式子的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a5＝8a2，则q3＝＝8，变形可得q＝2，
对于A，＝q2＝4，可以确定数值，
对于B，＝＝＝，可以确定数值，
对于C，＝q＝2，可以确定数值，
对于D，＝＝，不能确定数值，
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的前n项和的性质，涉及等比数列的通项公式和性质，属于基础题．
9．（4分）已知函数f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝﹣x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象以及直线y＝﹣x的图象，
关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，
即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，
平移直线y＝﹣x，
当a≤1时有两个交点，
故选：B．

【点评】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．
10．（4分）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（　　）（取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a的线段n次分形后变为长为a的折线，建立不等关系，利用对数求解即可．
【解答】解：设正三角形的周长为a，
“一次分形后”变为长为的折线，
“二次分形”后折线长度为a，…，
“n次分形”后折线长度为a，
故得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，
只需满足a≥100a，
两边同时取对数得：nlg≥lg100＝2，
即得：n（2lg2﹣lg3）≥2，解得：n≥＝≈16.01，
故至少需要17次分形，
故选：C．
【点评】本题考查了新定义问题，考查对数的运算，不等式问题以及转化思想，是中档题．
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）函数的定义域为　[0，1）　
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则：；
∴0≤x＜1；
∴原函数的定义域为[0，1）．
故答案为：[0，1）．
【点评】考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．
12．（5分）若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），则C的标准方程是 　x2＝4y　．
【分析】由题意可设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入已知点的坐标求得p，即可求得抛物线方程．
【解答】解：由题意可设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），
把点（2，1）代入，可得22＝2p×1＝2p，即p＝2．
∴抛物线方程为x2＝4y．
故答案为：x2＝4y．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，训练了利用待定系数法求抛物线方程，是基础题．
13．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝1，cosA＝，则c＝　2　．
【分析】由已知利用余弦定理可得2c2﹣c﹣6＝0，解方程即可得解c的值．
【解答】解：因为a＝2，b＝1，cosA＝，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得4＝1+c2﹣2×，整理可得2c2﹣c﹣6＝0，
解得c＝2，或﹣（舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
14．（5分）若函数f（x）＝sinx﹣cos（x+φ）的一个零点为，则常数φ的一个取值为　　．
【分析】由题意知sin﹣cos（+∅）＝0，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝sinx﹣cos（x+φ）的一个零点为，
∴sin﹣cos（+∅）＝0，
∴cos（+∅）＝，可得∅的一个取值为．
故答案为．
【点评】考查函数零点、三角恒等变换．
15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD上一个动点，设＝x，•＝y，对于函数y＝f（x）给出下列四个结论：
①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；
②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；
③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4；
④∃a∈（0，+∞），函数f（x）的最小值为负数．
其中所有正确结论的序号是　②③④　．

【分析】先利用垂直关系建立直角坐标系，根据长度求出点的坐标，再化简函数f（x），利用二次函数的性质依次判断四个选项的正误即可．
【解答】解建立平面直角坐标系如图所示，
则A（2，0），B（0，0），C（0，a），D（1，a），
所以，
则，
故P（2﹣x，ax），则，
所以＝（2﹣x）2+ax（ax﹣a）＝（1+a2）x2﹣（4+a2）x+4，
当a＝2时，，
所以当时，f（x）的最小值为，
当x＝0时，f（x）的最大值为4，即值域为，故选项①错误；
∀a∈（0，+∞）时，f（1）＝（1+a2）﹣（4+a2）+4＝1，故选项②正确；
f（x）＝（1+a2）x2﹣（4+a2）x+4，对称轴为，
当，即，函数f（x）在[0，1]上单调递减，
故当x＝0时，f（x）取得最大值为f（0）＝4，
当x＝1时，f（x）取得最小值为f（1）＝1
当时，，根据抛物线对称性可知，
当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝4，
当x＝时，f（x）取得最小值为．
综上所述，∀a∈（0，+∞）时，函数f（x）的最大值都等于4，故选项③正确；
取时，f（x）取得最小值为＝，故选项④正确．
故答案为：②③④．

【点评】本题综合考查了平面向量的坐标运算、数量积的运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法等，考查了逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程．
16．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2．
（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅲ）求二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值．

【分析】（Ⅰ）证明C1D平行于平面ABB1A1内的直线AB1即可；
（Ⅱ）证明AC垂直于平面C1BD内两条相交直线，得到AC⊥平面C1BD，从而得到AC⊥BC1；
（Ⅲ）先求二面角两面的法向量，再用夹角公式计算二面角的余弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为B1C1∥BC、B1C1＝BC，AD∥BC、AD＝BC，
所以B1C1∥AD、B1C1＝AD，所以四边形B1C1DA为平行四边形，
所以C1D∥AB1，AB1⊂平面ABB1A1，C1D⊄平面ABB1A1，
所以C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）证明：因为AB1⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知C1D∥AB1，所以C1D⊥平面ABCD，
又因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥C1D，
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又因为C1D∩BD＝D，所以AC⊥平面C1BD，
因为C1B⊂平面C1BD，所以AC⊥BC1；
（Ⅲ）因为AB1⊥平面ABCD，所以AB1⊥AD，AB1⊥AB，
又因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
于是AD、AB、AB1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
平面C1BD的法向量为＝＝（1，1，0），
＝（﹣1，1，0），＝（0，﹣1，），
设平面BDD1的法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝，则＝（，，1），
所以二面角C1﹣BD﹣D1的余弦值为＝＝．

【点评】本题考查了直线与平面位置关系，线面垂直的判定定理和性质，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
17．（13分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f（x）在区间的取值范围．
条件①：；
条件②：f（x）＝h（x）•g（x）；
条件③：f（x）＝h（x）﹣g（x）．
【分析】选①②③时，对于（Ⅰ）主要利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：函数，
选条件①时，＝＝＝2cosx，
（Ⅰ）由于f（x）＝2cosx，
令﹣π+2kπ≤x≤2kπ，（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[﹣π+2kπ，2kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）当时，cosx∈[0，1]，
所以函数f（x）的值域为[0，2]．
选条件②时，＝＝，
（Ⅰ）由于f（x）＝，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，
故，
所以，
故函数f（x）的值域为[]．
选条件③时，f（x）＝h（x）﹣g（x）＝＝＝．
（Ⅰ）由于f（x）＝，
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于，
所以，
故．
故f（x）的值域为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如表：
分组区间（单位：克）
（490，495]
（495，500]
（500，505]
（505，510]
（510，515]
产品件数
3
4
7
5
1
包装质量在（495，510]克的产品为一等品，其余为二等品
（Ⅰ）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（Ⅱ）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（Ⅲ）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望E（X）与期望E（Y）的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）直接利用古典概率的概率公式计算即可得解；
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得分布列；
（Ⅲ）依题意，Y～B（2，），即可求出Y的分布列和数学期望，即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）样本中一共有3+4+7+5+1＝20件产品，包装质量在（495，510]克的产品有4+7+5＝16件，
故从该流水线任取一件产品为一等品的概率P＝＝．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝2）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝0）＝＝，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P



（Ⅲ）由（2）可得EX＝0×+1×+2×＝，
依题意，Y～B（2，），则Y的可能取值为0，1，2，
则P（Y＝2）＝（）2＝，P（Y＝1）＝（1﹣）×＝，P（Y＝0）＝（1﹣）2＝，
故Y的分布列为：
Y
0
1
2
P



E（Y）＝＝2×＝，
所以E（X）．．
【点评】本题主要考查古典概型概率公式，离散型随机变量的分布列和期望，二项分布的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（14分）已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线y＝ex平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内单调递减，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，令f′（1）＝e，解方程可得所求a的值；
（Ⅱ）由题意可得f′（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，由参数分离，结合导数求得最值，即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）数的导数为f′（x）＝ex（﹣﹣lnx+a），
由切线与直线y＝ex平行，可得f′（1）＝e，即e（﹣1+a）＝e，解得a＝2；
（Ⅱ）函数f（x）在定义域（0，+∞）内单调递减，
可得f′（x）＝ex（﹣﹣lnx+a）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤+lnx，
令g（x）＝+lnx，g′（x）＝﹣+＝（1﹣），
由g′（x）＝0，可得x＝，
所以当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增，
可得g（x）min＝g（）＝+ln2，
故只需a≤g（x）min，
所以a的取值范围是（﹣∞，+ln2]．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆过点，且a＝2c，若直线l：y＝kx+1与椭圆C交于M，N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线PO，NO交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值．
【分析】（Ⅰ）因为椭圆C过点P（1，），且a＝2c，列方程组，解得a，b，c，进而可得答案．
（Ⅱ）设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），写出直线OP的方程，进而可得A点坐标（x1，x1），写出直线ON的方程，进而可得B坐标（x1，），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再由＝1，推出A为BM的中点，由中点坐标公式可得3x1＝kx1+，化简解得k，进而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C过点P（1，），且a＝2c，
所以，
所以a2＝4，b2＝3，c2＝1，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（Ⅱ）设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），
因为P（1，），
所以直线OP的方程为y＝x，
所以A（x1，x1），
直线ON的方程为y＝x，B（x1，），
由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，
所以Δ＝64k2+32（4k2+3）＞0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以＝1，
所以A为BM的中点，
所以3x1＝kx1+，
所以3x1x2＝kx1x2+kx1x2+x1+x2，
所以﹣＝﹣，
所以﹣24k＝﹣24，
所以k＝1．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（15分）定义满足以下两个性质的有穷数列a1，a2，a3，…，an为n（n＝3，4，⋅⋅⋅）阶“期待数列”：
①a1+a2+a3+…+an＝0；
②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝1．
（Ⅰ）若等比数列{an}为4阶“期待数列”，求{an}的公比；
（Ⅱ）若等差数列{an}是2k+1阶“期待数列”（n＝1，2，3，…，2k+1，k是正整数），求{an}的通项公式；
（Ⅲ）记2k阶“期待数列”{an}的前n项和为Sn（n＝1，2，3，…，2k，k是不小于2的整数），求证：|Sk|≤．
【分析】（Ⅰ）先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式求出公比即可；
（Ⅱ）先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到ak+1＝0，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d，根据an＝ak+1+[n﹣（k+1）]d，求出通项公式即可；
（Ⅲ）先利用新定义计算数列中所有非负项之和与所有负数项之和，再求Sk的最大值和最小值，即可证明：|Sk|≤成立．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，等比数列{an}为4阶“期待数列”，
故数列满足①a1+a2+a3+a4＝0，②|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝1．
易见an≠0，若公比q为1，则①式即4a1＝0，不符合题意，故q≠1，
故①式即，即q4＝1，故q＝﹣1，所以{an}的公比为﹣1；
（Ⅱ）依题意，等差数列{an}是2k+1阶“期待数列”，设等差数列{an}公差为d，
则数列满足①a1+a2+a3+…+a2k+1＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2k+1|＝1．
故①式即，即a1+a2k+1＝2ak+1＝0，即ak+1＝0．
若d＞0时，有a1，a2，a3，…，ak＜0，ak+2，ak+3，…，a2k+1＞0，
则②式即﹣a1﹣a2﹣…﹣ak+ak+2+ak+3+…+a2k+1＝1，
故（ak+2﹣a1）+（ak+3﹣a2）+…+（a2k+1﹣ak）＝1，即k⋅（k+1）d＝1，得，
所以；
若d＜0时，有a1，a2，a3，…，ak＞0，ak+2，ak+3，…，a2k+1＜0，
则②式即a1+a2+a3+…+ak﹣ak+2﹣ak+3﹣…﹣a2k+1＝1，
故（a1﹣ak+2）+（a2﹣ak+3）+…+（ak﹣a2k+1）＝1，即﹣k⋅（k+1）d＝1，得，
所以．
综上，d＞0时，（n∈N*）；d＜0时，（n∈N*）；
（Ⅲ）设2k阶“期待数列”{an}的所有非负项之和为A，所有负数项之和为B，
依题意数列满足①a1+a2+a3+…+a2k＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2k|＝1．
即A+B＝0，A﹣B＝1，则解得，
当所有非负数项一起构成Sk时，Sk最大为，即；
当所有负数项一起构成Sk时，Sk最小为，即．
故，所以．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的相关性质，考查了分类讨论思想，解题关键是理解并利用新定义，属难题．
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