2023回族自治区银川一中高二下学期期末考试数学（理科）试题含答案

高二期末数学(理科)试卷参考答案(2023下)

1．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，

则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ）

A．甲学科总体的均值最小

B．乙学科总体的方差及均值都居中

C．丙学科总体的方差最大

D．甲、乙、丙的总体的均值不相同

【答案】C

【分析】根据正态曲线的特征进行判断,从图中看出,正态曲线的对称轴相同,最大值不同,从而得出平均数和标准差的大小关系,结合甲、乙、丙的总体即可选项.

【详解】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.

故选:C.

2．若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，结合诱导公式可求得该直线的倾斜角.

【详解】由题意可知，直线的斜率为，

所以，该直线的倾斜角为，

故选：B.

3.设，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解出不等式和，根据两个不等式的解集即可得出答案．

【详解】由，得，

解得；

由，得，得

因为当时，一定可以推出，

而当时，不能推出。

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

4.在极坐标系中，把曲线绕极点逆时针旋转后所得曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用旋转后的点坐标表示出曲线上的点的坐标，代入曲线方程即可整理得到结果.【详解】设曲线上的点为，旋转后对应的点为，

则，，，

即旋转后所得曲线方程为：.

故选：B.

5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（　　）

（附：若随机变量ξ服从正态分布，则68.27%，95.45%）

A．4.56%     B．13.59%     C．27.18% D．31.74%

【答案】B

【分析】正态分布中，，根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】正态分布中，，

所以68.27%，

95.45%，

所以13.59%，

故选：B.

6．有下列说法：

①若某商品的销售量（件）关于销售价格（元/件）的线性回归方程为，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；

②线性回归直线一定过样本点中心；

③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1；

④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；

⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好；

其中正确的结论有几个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由最小二乘法求解回归直线和回归直线的性质可知①错误，②正确；随机变量为负相关时，线性相关性越强，相关系数越接近，③错误；残差图中带状区域越窄，拟合度越高，④错误；越接近，模型拟合度越高，⑤正确；由此可得结果.

【详解】①当销售价格为时，销售量的预估值为件，但预估值与实际值未必相同，①错误；

②由最小二乘法可知，回归直线必过，②正确；

③若两个随机变量为负相关，若线性相关性越强，相关系数越接近，③错误；

④残差图中，带状区域越窄，模型拟合度越高，④错误；

⑤相关指数越接近，拟合度越高，则在线性回归模型中，回归效果越好，⑤正确.

可知正确的结论为：②⑤，共个

本题正确选项：

【点睛】本题考查统计案例部分命题的判断，涉及到回归直线、最小二乘法、相关系数、相关指数、残差图的相关知识.

7若，，，则事件A与B的关系是（    ）

A．互斥但不对立   B．对立   C．相互独立 D．既互斥又独立

【答案】C

【分析】根据独立事件的乘法公式判断独立性，根据互斥事件的定义判断是否互斥．

【详解】∵，∴，

∴，

∴事件A与B相互独立，

题中事件A与B之间没有任何关系，它们既不互斥也不对立.

故选：C．

8.随机变量的分布列如下，且满足，则的值（　　）

A．0      B．1      C．2 D．无法确定，与，有关

【答案】B

【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算代入前面关系式，化简得到答案.

【详解】

由随机变量的分布列得到：，

又，

解得，∴，

∴．

故选B．

9.已知某口袋中放有大小、质地完全相同的红球和白球各若干个，若有放回地从口袋中每次摸取1个球，连续摸两次，记两次摸到的小球颜色不同的概率为，两次摸到的小球颜色相同的概率为，则（    ）

A． B．

C． D．，大小不确定

【答案】B

【分析】设口袋中有红球个，白球个，根据独立事件的概率公式，分别求得，，结合基本不等式，即可求解.

【详解】设口袋中有红球个，白球个，

则两次摸到的小球颜色不同的概率为，

两次摸到的小球颜色相同的概率为，

因为，可得，当且仅当等号成立，

所以.

10.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.

【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，

则，，故，

所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.

故选：D

11.已知，则的取最小值时，为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用柯西不等式求出的最小值，从而可求出，进而可求出的值【详解】由柯西不等式得：

则．则根据等号成立条件知，，，

所以故选：B

12.某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】记在他10次投篮中，投中的次数为，则，且，

由，得，

所以，所以，所以，

所以，解得，因为，所以，

所以在他10次投篮中，最有可能投中的次数为8次.故选D.

13.参数方程为，为参数；化成直角坐标方程为

14.设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角换元结合距离公式可求，结合函数的性质可求最大值.

【详解】设，圆的圆心，则，

于是的最大值为，进而的最大值为．

故选：B.

15．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．-1≤a≤1 B．a≤-1或a≥1 C．-3≤a≤3 D．a≤-3或a≥3

【答案】D

【解析】不等式对一切实数x恒成立，即，利用可求最值，从而得出答案.

【详解】（当时，等号成立）

不等式对一切实数x恒成立

则

所以，则或

故选：D

16.已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；

法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.

【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，

得，显然，设，则，

所以，

又，

所以，

所以.

法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，

故直线的参数方程为（为参数），代入，

整理得，，显然，

设该方程的两根为，则，

，所以.

故选：.

17..北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：

(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率；

(2)从参加体育实践活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；

（2）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；

（1）

方法一：女生共有人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”

由题意可知，

因此

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为

方法二：女生共有人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在”

由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个

所以

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为

（2）

方法一：X的所有可能值为0，1，2，时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人.

记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件C､D相互独立，且

所以

所以X的分布列为：

故X的数学期望

方法二：X的所有可能值为0，1，2，

因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故

所以

所以X的分布列为：

故X的数学期望

18．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；

(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

实验组：5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：

（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

参考数据：

【答案】(1)分布列见解析，

(2)（i）；列联表见解析，（ii）能

【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；

（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；

（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【详解】（1）依题意，的可能取值为，

则，，，

所以的分布列为：

故.

（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为，后续依次为，

故第20位为，第21位数据为，

所以，

故列联表为：右表：

（ii）由（i）可得，，

所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

19.在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线M，N的极坐标方程；

(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；

（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，即，

又由，可得，

所以曲线M的极坐标方程为．

由，可得，即，

即曲线N的极坐标方程为.

（2）解：将代入，可得，

将代入，可得，

则，

因为，所以，

又因为，所以．

20.函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若存在，使得，求a的取值范围.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）分类讨论取绝对值可求出不等式的解集；

（2）去绝对值转化为不等式组在时有解，进一步转化为可求出结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为.

当时，原不等式可化为，整理得，所以.

当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解集是空集.

当时，原不等式可化为，整理得，所以.

综上，当时，不等式的解集为.

（2）若存在，使得，即存在，使得①.

①式可转化为，即②.

因为，所以②式可化为③，

若存在使得③式成立，则，即，

所以，即a的取值范围为.

21．多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：

(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

②参考数据：.

【答案】(1)模型的拟合程度更好

(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元

【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立关于的的线性回归方程,再转化为y关于的回归方程；(2)利用回归方程计算时x的值即可.

【详解】（1）由题意进行数据分析：

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好

（2）（i）先建立关于的线性回归方程.

由，得，即.

由于

所以关于的线性回归方程为，

所以，则.

（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，

又

所以，解得，

所以预测下一年的研发资金投入量是亿元

22.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.

（1）求系统需要维修的概率；

（2）该电子产品共由3个系统组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望；

（3）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作.问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？

【答案】（1）；（2）700；（3）时，可以提高整个系统的正常工作概率.

【解析】（1）由次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出系统需要维修的概率．

（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，由此能求出的期望．

（3）当系统G有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G均能正常工作，由此求出新增两个元件后系统G能正常一作的概率，从能求出满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率．

【详解】解：（1）系统需要维修的概率为，

（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，

所以．

（3）当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统才正常工作

①若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为；

②若2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为；

③若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统均能正常工作，则概率为；

所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为

令，解得，

即时，可以提高整个系统的正常工作概率.