2023年辽宁省沈阳市大东区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省沈阳市大东区中考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省沈阳市大东区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数9的相反数等于（　　）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
2．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． 赵爽弦图 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
4．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b
6．如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）
  
A．10° B．15° C．20° D．30°
7．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ）

A． B． C．1 D．2
8．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．
尺码/
22.5
23
23.5
24
24.5
销售量/双
1
4
6
8
1
则所销售的女鞋尺码的众数是（    ）
A． B． C． D．
9．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
10．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题
11．分解因式：______．
12．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取本书是物理书的概率为______．
13．函数中自变量的取值范围是______．
14．如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，则大树的高为______．（请用含m，的式子表示）

15．如图，已知直线y＝2x与双曲线（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=，则k的值为 _____．

16．在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为________．

三、解答题
17．计算：．
18．在平行四边形中，点，分别为，的中点，求证：四边形是平行四边形．

19．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：    B组：    C组：    D组：    E组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了_______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
20．如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．利用画树状图或列表的方法，求吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．
  
21．年某市教育附加费投入万元，用于发展本市的教育，预计到年该市教育附加费投入将达到万元，求这两年该市教育附加费年均增长率（结果精确到）．
22．如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
  
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
23．如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．
  
(1)请直接写出点的坐标；
(2)若动点满足，求此时点的坐标；
(3)如图2，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，直接写出的最小值和此时线段扫过的面积．
24．已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A．

(1)如图1，当点G在上，F在上，求的值；
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转，如图2，直接写出的值；
(3)若，，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，求的长度．
25．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
  
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．
①如图1，若点在第三象限，且，求点的横坐标；
②如图2，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出四边形的周长．

参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求解即可．
【详解】解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得．
【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形，
故选A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．
3．C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．B
【分析】将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．
【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点．
6．B
【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论．
【详解】解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1l2
∴
故选B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键．
7．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据众数的定义进行求解即可．
【详解】解：由表格可知尺码为24cm的鞋子销售量为8，销售量最多，
∴众数为24cm，
故选C．
【点睛】本题主要考查了众数，熟知众数的定义是解题的关键．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
9．C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
11．
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】


故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
12．
【分析】应用简单随机事件概率计算方法求解即可．
【详解】解：根据题意可得：P（从中任取1本书是物理书）=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．
14．
【分析】延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，由题意可得，再根据锐角三角函数可求出，．又可证，即得出．
【详解】如图，延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，

结合题意可知，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．
15．2
【分析】设点A的坐标为（m，2m），根据OA的长度，利用勾股定理求出m的值即可得到点A的坐标，由此即可求出k．
【详解】解：设点A的坐标为（m，2m），
∴，
∴或（舍去），
∴点A的坐标为（1，2），
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正确求出点A的坐标是解题的关键．
16．或或6
【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，

∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，

∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，

根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
综上所述，BP的长为或或6．
故答案为：或或6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．4
【分析】先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，化简二次根式，特殊角三角函数值，熟知相关运算法则是解题的关键．
18．证明见详解
【分析】由平行四边形的性质得，，再怎，即可得出结论；
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，分别为，的中点，
，
四边形是平行四边形；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
19．(1)100
(2)补全统计图见解析
(3)D组所对应的扇形圆心角度数为
(4)估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人

【分析】（1）根据统计图中组的人数与占比，计算求解即可；
（2）根据组人数占比为，求出组人数为人，然后作差求出组人数，最后补全统计图即可；
（3）根据组人数的占比乘以计算求解即可；
（4）根据两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，本次共调查了（人），
故答案为：100．
（2）解：由统计图可知，组人数占比为，
∴组人数为（人），
∴组人数为（人），
∴补全统计图如图所示

（3）解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为，
∴D组所对应的扇形圆心角度数为．
（4）解：由题意知，（人）
∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
20．
【分析】先列出表格得出所有等可能的结果数，再找出吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：所有可能的情况如表所示：

1
2
3
4
1




2




3




4




由表格可得：共有12种等可能的结果，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的有8种结果，
∴吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，正确理解题意、熟练掌握列表法求概率的方法是解题关键．
21．这两年该市教育附加费年均增长率越为
【分析】设这两年该市教育附加费年均增长率为，根据题意得，，解方程即可求解．
【详解】解：设这两年该市教育附加费年均增长率为，根据题意得，

解得：或（舍去）
答：这两年该市教育附加费年均增长率越为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证；
（2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
  
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
  
设 ，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
23．(1)
(2)
(3)的最小值为，线段扫过的面积为

【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）连接，过点作于点，因为，所以，设，则，根据的值，即可求得的值，再利用勾股定理，即可求解；
（3）当以点为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点，再将线段绕点顺时针方向旋转得线段，此时最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴点的坐标为；
（2）解：如图1，连接，过点作于点，
  
，
，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
解得，
∴，
在中，，
在中，，
∴点的坐标为；
（3）解：连接，依题意，以点为圆心，的长为半径画圆，与的交点即为点，再将线段绕点顺时针方向旋转得线段，
  
∴是等边三角形，
以为边作等边三角形，则，
∴，，
∴
∴
即点在上运动，设与交于点
∵，,
∴，
当时，取得最小值，此时，如图所示，
  
由题可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为4，
∴线段扫过的面积=．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题关键．
24．(1)；
(2)；
(3)当C，G，E三点共线时，的长度为或．

【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，在上，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵正方形绕点逆时针方向旋转，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）解：①如图，

∵，，
∴，，，
∵三点共线，
∴在中，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴；
②如图：

由（2）知，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵C，G，E三点共线，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，当C，G，E三点共线时，的长度为或．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②或

【分析】（1）把点，代入，即可求解；
（2）①过点作于点，可得为等腰直角三角形，从而得到，设点，则，，再由四边形为矩形，可得，，从而得到，即可求解；
②过点作轴于点，先求出直线的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①如图，过点作于点，
  
点，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设点，则，，
轴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
解得：或舍去，
点P的横坐标是；
②如图，过点作轴于点，
  
令，，
解得：舍去，
点，，
，
，
设直线的解析式为，
把点，，，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
点关于直线的对称点落在轴上时，
，，，
轴，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
轴，
，
，
设点， 则点，
当点在轴左侧时，，
当时，，
，
，
解得：或舍去，
，
四边形的周长为；
当点在轴左侧，x轴上方时，，
当时，，
，解得：或舍去，
此时，
四边形的周长为；
当点在轴右侧，即时，，，
，解得：或，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形的周长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键．