2024年新高考数学一轮复习 第九章 第三节 随机事件的概率与古典概型

课时跟踪检测（六十八） 随机事件的概率与古典概型

一、全员必做题

1．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　 )

A．2  B．4 

C．6  D．8

解析：选B　从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个样本点．

2．(2023·济南模拟)(多选)一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有(　 )

A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”

B．“至少有1件次品”和“都是次品”

C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”

D．“至少有1件次品”和“都是正品”

解析：选AD　对于A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；对于B，“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；对于C，“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品”}，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；对于D，由C分析知，“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件．故选A、D.

3．(2023·盐城模拟)(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　 )

A．P(A)＝0.55  B．P(B)＝0.18

C．P(C)＝0.27  D．P(B＋C)＝0.55

解析：选ABC　依题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得选项A、B、C都正确，选项D不正确．故选A、B、C.

4．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　 )

A.  B. 

C.  D.

解析：选B　从24个节气中选择4个节气，共有C种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有C种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为＝.

5．(2023·梅州模拟)某学校组织参加兴趣小组，其中有82%的学生选择数学小组，60%的学生选择英语小组，96%的学生参加数学或英语小组，则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是(　 )

A．62%  B．56% 

C．46%  D．42%

解析：选C　设“选择数学小组”为事件A，“选择英语小组”为事件B，则“选择数学或英语小组”为事件A∪B，“既选择数学小组又选择英语小组”为事件AB，依题意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%. 故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是46%. 故选C.

6．现有7个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为(　 )

A.  B. 

C.  D.

解析：选C　7个球任取3个有C种，其中所取出的小球上数字的最小值为2的有CC＋CC种，所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为＝＝.

7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则该试验的样本空间Ω＝________.

解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.

答案：{0,2,4,6,8}

8．(2023·宿迁模拟)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝ 4a－5，则实数a的取值范围是________．

解析：∵随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，

∴即解得<a≤，即a∈.

答案：

9．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为________．

解析：从10把钥匙中任取2把有C种取法，从中任取2把能将该锁打开有CC＋C种取法，所以从中任取2把能将该锁打开的概率为p＝＝.

答案：

10．某研究学习小组为研究学校学生一个月课余使用手机的总时间，收集了500名学生在12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在区间[18,20]内，现在从课余使用手机总时间在[18,20]内的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为________．

解析：50×0.05×2＝5，则在区间[18,20]内的学生有5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有C＝10种等可能的结果，至少抽到一名女生有C＋CC＝7种等可能的结果，则所求概率为.

答案：

11．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

12．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．

解：(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.

则P(B)＝＝，P(C)＝＝.

由互斥事件的概率加法公式，得

P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，

故所求事件的概率为.

二、重点选做题

1．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)＝60，n(A)＝30，n(B)＝10，n(C)＝20，n(D)＝30，n(A∪B)＝40，n(AC)＝10，n(A∪D)＝60，则(　 )

A．A与B不互斥

B．A与D互斥但不对立

C．C与D互斥

D．A与C相互独立

解析：选D　由n(A)＝30，n(B)＝10，n(A∪B)＝40，即n(A∪B)＝n(A)＋n(B)＝40，故A，B互斥，A错误；由n(A∪D)＝ n(A)＋n(D)＝n(Ω)＝60，则A，D互斥且对立，B错误；由n(C)＝20，n(AC)＝10，则n(DC)＝10，C与D不互斥，C错误；由P(A)＝＝，P(C)＝＝，P(AC)＝＝，所以P(AC)＝P(A)P(C)，即A与C相互独立，D正确．故选D.

2．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K-三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则(　 )

A．一个K-三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为

B．一个K-三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为

C．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为

D．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为

解析：选BCD　如图，对于A，从8个顶点中任取3个顶点构成的直角三角形共有6C＋12×2＝48个，其中等腰直角三角形有24个，所以一个K-三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率P＝＝，A错误．对于B，从8个顶点中任取3个顶点构成的等腰三角形共有C－12×2＝32，其中的等边三角形有8个，一个K-三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率P＝＝，B正确．对于C，相互平行的棱对有3C＝18对，其中距离为的棱对有6对，一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率P＝，C正确．对于D，相互垂直的棱对有12×4＝48对，其中相互异面的棱对有12×2＝24对，故一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率P＝，D正确．

3．(2023·济南模拟)(多选)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出的球的数字为X1，第二次取出的球的数字为X2.设X＝，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1]＝1，[2.5]＝2，则(　 )

A．P(X1>X2)＝

B．P(X1＋X2＝5)＝

C．事件“X1＝6”与“X＝0”互斥

D．事件“X2＝1”与“X＝0”对立

解析：选AC　因为从中有放回的随机取两次，所以有6×6＝36种可能，有6种情况X1＝X2，所以X1>X2的情况共有＝15种，所以P(X1>X2)＝＝，选项A正确；两次取球数字和为5有以下4种情况：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(X1＋X2＝5)＝＝，选项B错误；当X1＝6时，X＝＝≠0，所以事件“X1＝6”与“X＝0”互斥，选项C正确；当X2＝1时，X＝＝[X1]≠0，但是当X2＝2，X1＝2时，X＝＝1≠0，所以事件“X2＝1”与“X＝0”不是对立事件，选项D错误．

4．(2023·南通六校联考)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．

(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])

(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？

(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．

解：(1)由题图可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.

(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3.则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种．故至少有一名男生的概率为P＝.