(暑期班)初升高数学衔接讲义第10讲 全称量词与存在量词 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

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初高中衔接素养提升专题讲义
第十讲 全称量词与存在量词（精讲）
【知识点透析】
一、全称量词与全称命题
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
∀
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2） 常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
二、存在量词与特称命题
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
∃
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
三、全称命题与特称命题的否定
命题
命题的表述
全称命题p
∀x∈M，p(x)

全称命题的否定p
∃x0∈M，p(x0)
特称命题p
∃x0∈M，p(x0)
特称命题的否定p
∀x∈M，p(x)
命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然
四、常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个
【知识点精讲】
题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断
【例题1】下列命题是全称量词命题的是（       ）
A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数
C．每个三角形的内角和都是 D．，使得
【答案】C
【分析】根据全称命题和存在命题的定义判断各选项即可.
【详解】对于A，可将命题改写为：，使得为无理数，则命题为存在命题，A错误；
对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在命题，B错误；
对于C，可将命题改写为：中，，则命题为全称命题，C正确；
对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D错误.
故选：C
【例题2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（       ）．
A．实数都大于0 B．有些菱形是正方形
C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数
【答案】C
【分析】B、D不是全称命题，A、C是全称命题而A显然错误.
【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；
有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B选项错误；
三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C选项正确；
有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D选项错误.
故选：C.
【例题3】下列命题中是存在量词命题的是（       ）
A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B．正方形都是平行四边形
C．空间中不相交的两条直线相互平行 D．存在大于等于9的实数
【答案】D
【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.
【详解】选项A中，“所有的”是全称量词；
选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；
选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；
选项D中，“存在”是存在量词.
故选：D.
【例题4】下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（　　）
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．，使
【答案】C
【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.
【详解】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题；
B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；
C：命题为存在量词命题，，，故为假命题；
D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.
故选：C
【例题4】给出下列四个命题，其中是真命题的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题，存在量词命题的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，当x=0时，不成立，故A为假命题；
对于B，当时，满足，故B为真命题；
对于C，当时，不成立，故C为假命题；
对于D，由可得，且均为无理数，故D为假命题．
故选：B．
【例题5】下列四个命题中的真命题为（　　）
A．， B．，
C．∀x∈R， D．∀x∈R，
【答案】D
【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．
【详解】若1＜＜3，得，则，故A错误，
由得，则，故B错误，由得，故C错误，
恒成立，故D正确，故选：D．
【变式1】下列命题中
（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；
（4）对于任意x∈R，总有．存在量词命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；
对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；
对于（4），对于任意x∈R，总有，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．
所以存在量词命题的序号是（1），有1个．
故选B．
【变式2】 下列命题不是存在量词命题的是（　　）
A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0 D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
【答案】B
【解析】对于A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于B，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；
对于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于D，有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题．
故选B．
【变式3】下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B．，
B． C．， D．，
【答案】．B
【解析】A中命题是全称量词命题，易知恒成立，故是真命题；
B中命题是全称量词命题，当时，，故是假命题；
C中命题是存在量词命题，当时，，故是真命题；
D中命题是存在量词命题，当时，，故是真命题．
故选：B
【变式4】下列命题中真命题的个数（ ）.
（1）； （2）；
（3）能被2和3整除； （4）
A．0个 B．4个 C．2个 D．3个
【答案】．D
【解析】：（1），，，正确；
（2）时，，因此正确；
（3）时，能被2和3整除，因此正确；
（4）由于，无实数根，因此不正确．
所以真命题的个数为3个．
故选：D．
【变式5】有下列四个命题：①，；②，；③，，；④，．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．A
【解析】对于①，，，则，①是真命题；
对于②，因时，，，②是假命题；
对于③，因，，即，③是假命题；
对于④，因当且仅当或时，，而，且，④是假命题，
所以真命题的序号是①，共1个．
故选：A
题型二 全称命题与特称命题的否定
【例6】命题“∀x>2，x2﹣3>0的否定是（ ）
A．∃x0≤2，x02﹣3≤0 B．∀x>2，x2﹣3≤0
C．∃x0>2，x02﹣3≤0 D．∀x≤2，x2﹣3≤0
【答案】C
【解析】命题为全称命题，则命题的否定为，故选：C.
【例题7】设命题，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，
存在量词命题，的否定为：，.故选：B.
【变式1】命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．存在，使得 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．不存在，使得
【答案】．C
【解析】
对命题“任意，都有” 的否定为：
存在，使得.
故选：C
【变式2】命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】．C
【解析】命题“，”为全称量词命题，
其否定为存在量词命题，
故选：C.
【变式3】下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要而不充分条件
【答案】ABD
【解析】
对于选项A：“a>1”可推出“<1”，但是当<1时，a有可能是负数，所以“<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
对于选项B：命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确；
对于选项C：当x=-3，y=3时，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于选项D： “a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.
故选：ABD.




题型三 全称量词命题与存在量词命题的应用
【例题8】已知命题p：x∈{x|1 A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
【答案】D
【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【详解】因命题p：∃x∈{x|1 又是真命题，即x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，
所以实数a的取值范围是a≥3.
故选：D
【例题9】已知命题“∃x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．0 【答案】．D
【解析】∵命题“∃x∈R，使”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使”是真命题，
则判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，解得0 故选：D.
【例题10】若命题“，不等式”为真命题，则a的最大值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】．B
【解析】若命题“，不等式”为真命题，则，
解得；
故选：B.
【例题11】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，故选：B.
【例题12】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
命题，都有， 为真命题，则，即
命题，使，为真命题，则，即
因为命题、同时为真命题，所以，解得，
故实数m的取值范围是．
【例题13】已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得.
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）命题为真命题时，转化为，求的取值范围；（2）当命题为真命题时，即，再求当两个命题一真一假时，的取值范围的交集.
【详解】（1）∵，
∴，解得，故实数的取值范围是                      
（2）当q为真命题时，则，解得                                           
∵p，q有且只有一个真命题
当真假时，，解得：
当假真时，，解得：
综上可知，或                                
故所求实数的取值范围是或.
【变式1】命题：任意, -成立；命题：存在, +成立.
（1）若命题为真命题,求实数的取值范围;
（2）若命题为假命题,求实数的取值范围;
（3）若命题、至少有一个为真命题,求实数的取值范围;
【答案】．（1）（2） （3）或
【解析】：（1）由题,,即,
（2）由题,,即,
（3）当是真命题时,由（2）, 或
若命题、至少有一个为真命题,由（1）,则需满足或或
或
【变式2】已知，命题：，使得；命题：使得.
（1）写出命题的否定，并求为真时，实数的取值范围；
（2）若命题有且只有一个为真，求实数的取值范围．
【答案】．（1）；（2）或.
【解析】（1）由题意，：，使得；
若为真，即恒成立，所以只需，解得．
（2）由（1）可得，为真时，；所以，若命题为真，则；
若命题为真，则对于，恒成立，
因此只需，即，解得；
因为命题有且只有一个为真，
若真假，则有或，解得；
若假真，则有，解得；
综上，、有且只有一个为真时，的取值范围是或.初高中衔接素养提升专题课时检测
第十讲 全称量词与存在量词（精练）
（测试时间60分钟）
一、 单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（       ）
A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若则 D．存在一个实数x，使等式成立
【答案】C
【解析】易知C正确；
A选项是假命题；B选项是存在量词命题；D选项是存在量词命题.
故选：C.
2．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（       ）
A．所有能被2整除的正数都是偶数
B．存在三角形的一个内角，其余弦值为
C．，无解
D．，
【答案】D
【解析】对于A，所有能被2整除的正数都是偶数，
全称量词“所有”，是全称命题，为真命题，故A不选.
对于B，含有量词“存在”，不是全称命题，故B不选；
对于C，，无解，为特称命题，故C不选；
对于D，，，是全称命题，当或时，则，
故为假命题，满足题意，故D可选.
故选：D
3．已知命题，则为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据命题的否定可知，为.
故选：B.
4．若存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知函数的图象有在轴下方的部分，即，解得，
故选：A.
5．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】“，方程有解”是真命题，故，解得：，
故选：B
6．已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，
因为，所以，
结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.
故选: B.
二、 多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）
7．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（       ）
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程都有解
【答案】AC
【解析】选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题．
故选：AC
8．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】若“，”为真命题，则，，∴，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是a的取值范围为的真子集．
故选：AB．
三、填空题
9．已知命题“”为真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为命题“”为真命题，所以，即，
解得，所以实数a的取值范围是，
故答案为：
10．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】####
【解析】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.当时，集合，符合.当时，因为，
所以由，，得对于任意恒成立，
又，所以.综上，实数a的取值范围为.
故答案为：.





四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)有理数都是实数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)∀x∈{x|x＞0}，x2．
【答案】(1)全称量词命题，且是真命题 (2)是存在量词命题，是真命题
(3)是全称量词命题，假命题
【解析】（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．
（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，
举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．
（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，
因为当x＝1时，x2，所以命题是假命题．
12．命题成立；命题成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(2)若命题为假命题，则，解得，
所以实数的取值范围是；
(3)由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，则或
所以实数的取值范围是.