(暑期班)初升高数学衔接讲义第01讲 因式分解的拓展 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第一讲   因式分解的拓展（精讲）

【知识点透析】

因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【方法精讲】

一．提公因式法

提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．

符号语言：

【例1】  因式分解．

【变式】  因式分解．

【例2】 计算．

【变式1】已知，，则________．

【变式2】因式分解：；

二．公式法

公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：

（1）a2－b2=__；（平方差公式）

（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数））

（3）a3±b3=__； （立方和差公式）

（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数））

【例3】 因式分解  ．

【变式】因式分解：

(1)；           (2)．

【例4】多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：

立方和公式：

立方差公式：

如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.

根据以上材料，请完成下列问题：

（1）因式分解： （2）因式分解：

（3）已知：的值

【变式1】  因式分解 ．

【变式2】分解下列因式

 (1)             (2)

【变式3】分解因式：(1)        (2)

三．十字相乘法

十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．

【例5】在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：

(1)__________．

(2)__________．

(3)__________．

(4)__________．

【例6】．【知识背景】

八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：．

【方法探究】

对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．

所以

例如，分解因式：

它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．

 所以）．

类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．

例如，分解因式：．

分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．

【方法归纳】

一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．

我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．

【方法应用】

利用上面的方法将下列各式分解因式：

(1)；     (2)；      (3)

【变式1】 将下列各式分解因式

（1）；（2）．

【变式2】（1）；（2）．

【变式3】把下列各式因式分解：

(1)      (2)

【例7】（提高型）：分解因式.

【变式】（1）；     （2）.

四、分组分解法

根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）

【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】

课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：

（1）；

（2）．

【学以致用】

请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：

（1）；

（2）．

【拓展应用】

已知：，．求：的值．

 将下列各式分解因式

（1）；         （2）．

【例9】分解因式： （1）；（2）．

【变式】（1）；          （2）．

五．换元法

换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化

【例10】．阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．

对于．

解法一：设，则原式

；

解法二：设，，则原式

．

请按照上面介绍的方法解决下列问题：

(1)因式分解：；

(2)因式分解：；

(3)求证：多项式的值一定是非负数．

【变式1】  将下列各式分解因式

（1）；

（2）

【变式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

六．配方法

【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

请利用“配方法”进行因式分解：

(1)；                 (2)．

七．因式分解的应用

【例题12】．阅读下列材料：若一个正整数能表示成（a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇德数”，（）与是的一个平方差分解．

(1)判断        “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；

(2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P；

(3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由．

【例题13】．已知，，求的值．

【变式1】．（1）因式分解：．

（2）先化简，再求值：，其中．

【变式2】阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．

即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得．

∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21

仿照上述方法解答下列问题：

(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；

(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝       ．

初高中衔接素养提升专题课时检测

第一讲   因式分解的拓展（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（       ）

A． B． C． D．

2．下列因式分解正确的是（       ）

A． B．

C． D．

3．将多项式分解成因式的积，结果是（    ）

A． B．

C． D．

4．要是二次三项式在整数范围内可因式分解，则正整数的取值可以有（    ）

A．2个 B．3个 C．5个 D．6个

5.计算的值为（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题

6．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=_________．

7．因式分解=_________．

8．在实数范围内因式分解3x2+6x﹣2＝____．

三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9．分解因式：

（1）                   （2）

10、 已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状．

11．先阅读下面的内容，再解决问题：

问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式.但对于二次三项式，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：

(1)分解因式：；(2)若

①当满足条件： 时，求的值；

②若△ABC的三边长是，且边的长为奇数，求的周长

12.在二次三项式先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：

(1)已知：，求的值．

(2)已知：求的值．