(暑期班)初升高数学衔接讲义第03讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲   一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

  一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

(1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根：

(2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根：

(3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

 (1) 方程有两个不相等的实数根；   (2) 方程有两个相等的实数根

 (3)方程有实数根；      (4) 方程无实数根．

【解析】：

 (1) ；  (2) ；

 (3) ；  (4) ．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ）

A．35 B．30 C．26 D．21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．

【详解】解：整理不等式组得：由①得：，

由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，

∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，

∴，解得：，

∵有实数根，

∴解得：a≤9，

∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，

满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，

故选：B．

【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，

∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，

∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，

当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；

当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．

综上所述，△ABC的周长为10．

【例2】已知实数、满足，试求、的值．

【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：

由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：

，

代入原方程得：．综上知：

【变式1】已知，，满足，，，则的值为（    ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】B

【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可．

【详解】解：，，，

，

，，，，

．故选：B．

【变式2】新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________．

【答案】

【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．

【详解】∵与是“同类方程”，

∴，

∴，

∴，解得：，

∴

∴当时，取得最大值为2023．

故答案为：．

2、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的两个根为：

所以：，

韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

【知识点精讲】

【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：

(1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．

【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

【例4】．已知关于x的方程.

（1）若，方程两根分别为，，求和的值；

（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.

【答案】．（1），  （2）  

【解析】（1）由，，借助韦达定

理求解.

（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.

【详解】（1）当时，即：

因此：

（2）

【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值.

【解析】：是一元二次方程的不等实根

则有

原式=

【变式2】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．

(1)若，求m的值；

(2)令T＝＋，求T的取值范围．

【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2

【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．

（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；

（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．

(1)∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，

∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，

∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，

∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．

∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，

∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值为1；

(2)T＝＋，==

====2-2m．

∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．

∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴且

∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2．

【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．

【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．

【详解】（1）假设存在实数k，使成立．

∵一元二次方程的两个实数根

∴，

又，是一元二次方程的两个实数根

∴∴

，但 ．

∴不存在实数k，使成立．

（2）∵

∴要使其值是整数，只需能整除4，

∴，，，

注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．

所以的值为

【变式4】设一元二次方程的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：，记，那么______．

【答案】100

【分析】根据得到，代入计算即可．

【详解】∵一元二次方程的两根分别为a，b，

∴，∴，

∴，，

，

∴，

故答案为：100．

初高中衔接素养提升专题课时检测

第三讲   一元二次方程的判别式与韦达定理（精讲（解析版）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）[来源:学科网]

A.     B. 且    C.     D. 且

【解析】∵关于的一元二次方程有实数根，

∴ ，解得，且.故选B.

【答案】B

2.若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是（  ）

A. -2        B. -1           C. 1        D. 2

【解析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：

∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，

∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，

∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。

四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。

【答案】A。

3.已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　）

A．62 B．63 C．64 D．65

【答案】B

【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．

【详解】∵是一元二次方程的一个根，

∴∴

∴

故选：

4.已知正实数满足，为方程的根，则（       ）A． B． C． D．

【答案】．A

【解析】【分析】先由，求出的值，根据韦达定理，得到，，进而可求出结果.

【详解】由解得或，因为为正实数，所以，

又为方程的根，所以，；

因此.

故选A

5．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】．B

【解析】【分析】利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值.

【详解】由题意可知，可得，

由韦达定理可得，因为，则，

原方程为，所以，，

故，

因此，.

故选：B.

二、填空题

6．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________.

【答案】．

【分析】由题知，，再根据韦达定理求解得，进而解方程得

【详解】解：因为关于x的方程的两个实数根为，

所以，，所以

所以，

因为，所以，即，解得

因为，所以

故答案为：

7.已知实数， 满足等式，，则的值是______．

【答案】

【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．

【详解】解：∵实数， 满足等式，，

∴m，n是方程的两实数根，∴，，

∴，

故答案为：

8．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为　2012　．

【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，

∴a2﹣2013a+1＝0，∴a2＝2013a﹣1，

∴原式＝2013a﹣1﹣2012aa111＝2013﹣1＝2012．

故答案为：2012．

9.观察下列一组方程：①；②；③；④；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”，若也是“连根一元二次方程”，则k的值为____________．

【答案】

【分析】设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出的值；

【详解】设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得：，解得：，，∴，∴，

故答案为：

10．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为an、bn，则＝        　．

【解答】

【解析】由根与系数的关系得an+bn＝n+3，an•bn＝﹣3n2，

所以（an﹣3）（bn﹣3）＝anbn﹣3（an+bn）+9＝﹣3n2﹣3（n+3）+9＝﹣3n（n+1），

则，

∴原式＝

＝＝.

三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11.如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．

【答案】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，

再由可得关于k的方程，求解该方程即可．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、，

∴，

∵，

∴

．解方程得：，．

∵，

∴．

12.已知关于x的一元二次方程 ，其中k为常数．

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数的图象不经过第三象限，求k的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．

解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；

（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．

【答案】（1）证明见解析；（2）k≤1；（3）2．