2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）”

1．（5分）设为虚数单位，若，则　　

A． B．2 C． D．3

2．（5分）物体的运动位移方程是的单位：；的单位：，则物体在的速度是　　

A． B． C． D．

3．（5分）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有　　

A．15种 B．30种 C．36种 D．64种

4．（5分）已知复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）已知函数在处取得极值，则　　

A．4 B．3 C．2 D．

6．（5分）在的二项式展开式中，常数项为　　

A．160 B． C．60 D．

7．（5分）为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到，，三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为　　

A．90 B．540 C．180 D．270

8．（5分）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有　　

A．复数的虚部为 

B． 

C．复数的共轭复数 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

10．（5分）已知，则可能的取值是　　

A．1 B．2 C．3 D．0

11．（5分）二项式的展开式中，系数最大的项为　　

A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项

12．（5分）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数 

B．在上函数为增函数 

C．在上函数有极大值 

D．是函数在区间，上的极小值点

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）已知是虚数单位，复数，则的虚部为 　　．

14．（5分）若，则　　

15．（5分）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第 　　项．

16．（5分）函数的图象在处的切线方程为，则　　；　　．

四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（10分）在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知复数：．

（1）若_______，求实数的值；

（2）若复数的模为，求的值．

18．（12分）已知的一个极值点为2．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间，上的最值．

19．（12分）4个男同学和5个女同学站成一排．

（1）5个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

（4）男生和女生相间排列方法有多少种？

20．（12分）实数分别为何值时，复数是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

21．（12分）已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

22．（12分）已知函数，．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，，，都有，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）”

1．（5分）设为虚数单位，若，则　　

A． B．2 C． D．3

【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

2．（5分）物体的运动位移方程是的单位：；的单位：，则物体在的速度是　　

A． B． C． D．

【分析】先求物体的运动位移方程的导数，再求得秒时的导数，即可得到所求速度．

【解答】解：物体的运动位移方程是，

物体在秒的瞬时速度为．

故选：．

【点评】本题考查导数的物理意义，即了解函数的导数与瞬时速度的关系．

3．（5分）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有　　

A．15种 B．30种 C．36种 D．64种

【分析】根据题意，依次分析两位同学进入车厢的方法，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，第一位同学进入车厢，可以在6节车厢中任选1个，有6种选法，

同理：第二位同学进入车厢，有6种选法，

则两人进入车厢的方法数共有种，

故选：．

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意题目中的限制条件，属于基础题．

4．（5分）已知复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义，即可求解．

【解答】解：，

复数在复平面内对应的点的集合表示以原点为圆心，半径的圆，

表示复数对应的点与点之间的距离，

又点到圆心之间的距离为2，

．

故选：．

【点评】本题主要考查复数的几何含义，属于基础题．

5．（5分）已知函数在处取得极值，则　　

A．4 B．3 C．2 D．

【分析】根据在处取得极值，可得，求出，再代入中，判断的极值即可．

【解答】解：由，得，

因为在处取得极值，所以，所以．

当时，，

令，则或，

当或时，；当时，，

所以在和，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，故．

故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属基础题．

6．（5分）在的二项式展开式中，常数项为　　

A．160 B． C．60 D．

【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令的指数为零求出，得出结论．

【解答】解：的二项式展开式中，

通项公式为，

令，则，

常数项为．

故选：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．

7．（5分）为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到，，三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为　　

A．90 B．540 C．180 D．270

【分析】根据题意，分3步进行分析：①在6名工作人员中任选2人，安排到小区，②在剩下的4名工作人员中任选2人，安排到小区，③将最后的2名工作人员安排到小区，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①在6名工作人员中任选2人，安排到小区，有种选法，

②在剩下的4名工作人员中任选2人，安排到小区，有种选法，

③将最后的2名工作人员安排到小区，有1种选法，

则有种不同的安排方式，

故选：．

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

8．（5分）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【分析】求出原函数的导函数，把问题转化为在上恒成立，分离参数，再由函数的单调性求得的范围，则答案可求．

【解答】解：，

函数在区间上单调递增，

在上恒成立，

即在上恒成立，

在上为增函数，．

，即的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有　　

A．复数的虚部为 

B． 

C．复数的共轭复数 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【分析】由已知结合复数的基本概念、复数模的求法及复数的代数表示法及其几何意义逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：复数，复数的虚部为1，故错误；

，故正确；

复数的共轭复数，故正确；

数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故正确．

故选：．

【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

10．（5分）已知，则可能的取值是　　

A．1 B．2 C．3 D．0

【分析】利用排列数公式和组合数公式分析求解即可．

【解答】解：因为，

则，

所以当或时符合，

所以可能的取值是2或3．

故选：．

【点评】本题主要考查了排列数公式和组合数公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．

11．（5分）二项式的展开式中，系数最大的项为　　

A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项

【分析】根据二项式的展式的通项公式，可得系数最大的项．

【解答】解：二项式的展开式中，

通项公式为，

故当或7时，展开式的系数最大，

系数最大的项为第七项和第八项．

故选：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，涉及到求解系数最大项的问题，属于中档题．

12．（5分）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数 

B．在上函数为增函数 

C．在上函数有极大值 

D．是函数在区间，上的极小值点

【分析】结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断．

【解答】解：由图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．

故选：．

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值的关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）已知是虚数单位，复数，则的虚部为 　　．

【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数模的公式，即可求解．

【解答】解：，

，

的虚部为．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数虚部的概念，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

14．（5分）若，则　4或6　

【分析】根据题意，由组合数公式分析可得或，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，若，

则有或，

解可得：或6；

故答案为：4或6．

【点评】本题考查组合数公式的应用，注意组合数公式的形式，属于基础题．

15．（5分）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第 　第五和第六　项．

【分析】由已知展开式中第3项与第8项的系数相等求二项式指数，然后求二项式系数最大项．

【解答】解：的展开式中第3项与第8项的系数相等，

，，

则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，

故答案为：第五和第六．

【点评】本题考查了二项式定理的运用，注意区分二项式系数与项的系数，本题的二项式系数与项的系数相等．

16．（5分）函数的图象在处的切线方程为，则　2　；　　．

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由与在切点处的函数值相等，即可求得与的值．

【解答】解：由，得，

函数的图象在处的切线方程为，

（1），即，

且（1），得．

故答案为：2；．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．

四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（10分）在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知复数：．

（1）若_______，求实数的值；

（2）若复数的模为，求的值．

【分析】（1）选择①，即，即可求解．选择②，结合虚数的概念，即可求解．选择③，结合纯虚数的概念，即可求解．

（2）根据已知条件，结合复数的减法法则，以及复数模公式，即可求解．

【解答】解：（1）选择①，，，解得．

选择②，为虚数，则，解得．

选择③，为纯虚数，则，，解得或．

（2），

，

复数的模为，

，解得，

故．

【点评】本题主要考查了复数虚部和纯虚数的概念，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

18．（12分）已知的一个极值点为2．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间，上的最值．

【分析】（1）先对函数求导，由函数的一个极值点为2可求得的值，再利用导数与单调性的关系即可求得单调区间；

（2）由（1）知函数在区间，上的单调性，可得是函数的极大值点，并计算，和（2）的值，取最大者为最大值，最小者为最小值．

【解答】解：（1）因为，所以，

因为的一个极值点为2，

所以（2），解得，

此时，，

令，得或，

令，得；令，得或，

故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增．

（2）由（1）知，在，上为增函数，在，上为减函数，

所以是函数的极大值点，

又，，（2），

所以函数在区间，上的最小值为，最大值为13．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查学生运算求解能力，属于中档题．

19．（12分）4个男同学和5个女同学站成一排．

（1）5个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

（4）男生和女生相间排列方法有多少种？

【分析】（1）根据题意，将5个女同学看成一个整体，与4个男同学全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，先排4个男同学，再将女同学安排在男同学的空位中，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，先在剩下7人中选出3人，放在甲乙之间，再将5人看成一个整体，与其余4人全排列，由分步计数原理计算可得答案；

（4）根据题意，男生和女生相间排列，先排5个女同学，再将男同学依次安排在女同学的空位中，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，将5个女同学看成一个整体，与4个男同学全排列即可，

有种排法；

（2）根据题意，先排4个男同学，再将女同学安排在男同学的空位中，

有种排法；

（3）根据题意，先在剩下7人中选出3人，放在甲乙之间，再将5人看成一个整体，与其余4人全排列，

有种排法；

（4）根据题意，男生和女生相间排列，先排5个女同学，再将男同学依次安排在女同学的空位中，

有种排法．

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．

20．（12分）实数分别为何值时，复数是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．

（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．

（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．

【解答】解：（1）若复数是实数，则，

即，得；

（2）如复数是虚数，则，

即，则且；

（3）如复数是纯虚数，则，

则，

即或．

【点评】本题主要考查复数的有关概念的应用，根据相应的条件建立不等式组是解决本题的关键．

21．（12分）已知展开式的二项式系数和为512，且．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数．

【分析】（1）利用二项式系数和，求出的值，再由和二项展开式，求解系数即可．

（2）利用赋值法，和，代入求解即可；

（3）利用以及二项式定理展开，即可得到答案．

【解答】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，

则，解得，

因为，

则；

（2）令，可得，

令，可得，

所以；

（3）因为，

因为能被6整除，

所以被6整除后余数为5．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，求解整除问题和求解近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，其中合理运用赋值法是求解二项展开式系数和的关键，考查了化简运算能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数，．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，，，都有，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用导数的正负确定函数的单调性，由单调性求解函数的最值，即可得到函数的值域；

（2）将问题转化为，利用（1）中的结论以及函数的单调性求解最值，即可得到的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数，

则，

则当时，，则单调递减，

又，

所以函数在上的值域为；

（2）因为，，，都有，

则，

由（1）可知，，

因为，

则在，上单调递增，

所以，

故，解得，

所以实数的取值范围为，．

【点评】本题考查了函数单调性的判断与应用，函数值域与函数最值的求解，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．

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日期：2021/12/1 16:05:47；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394